Copeland-Erdősova konstanta

Copeland-Erdősova konstanta je reálné číslo vytvořené jako zřetězení "0" ("nula celá čísla...") se zřetězenou sekvencí rostoucích prvočísel v desítkovém zápisu [1] :

0,235711131719232931374143…

Konstanta je iracionální ; tuto skutečnost lze dokázat pomocí Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetickém postupu nebo Bertrandova postulátu [2] či Ramareho věty (uvádějící, že libovolné sudé celé číslo je součtem nejvýše šesti prvočísel). Tato skutečnost vyplývá i z toho, že tato konstanta je normální číslo ; normalitu konstanty v desítkovém zápisu dokázali v roce 1949 Arthur Copeland a Pal Erdős .

Jakákoli konstanta vytvořená zřetězením "0" se všemi prvočísly v aritmetickém postupu , kde je relativně prvočíslo s číslem a číslem 10, bude iracionální. Jedná se například o prvočísla ve tvaru nebo . Podle Dirichletova teorému obsahuje aritmetická posloupnost prvočísla pro libovolné číslo a tato prvočísla jsou také v , proto mezi těmito zřetězenými prvočísly bude libovolný požadovaný počet po sobě jdoucích nul. $dn+a$ $A$ $d$ $4n+1$ $8n+1$ $dn\cdot 10^{m}+a$ $m$ $cd+a$

Copeland-Erdősova konstanta může být vyjádřena jako:

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lpodlaží \log _{10} {p_{k}}\rpodlaží \right)}

kde je te prvočíslo . $p_n$ $n$

Pokračující zlomek čísla je [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] [3] .

Podobné konstanty

Pro jakýkoli poziční číselný systém se základním číslem: $b$

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n))

což lze v této číselné soustavě zapsat jako 0,0110101000101000101…, kde -tá číslice je 1, pokud jde o prvočíslo, je iracionální [4] . $n$ $n$

Champernowneova konstanta je zřetězením všech kladných celých čísel, nejen prvočísel.

Poznámky

↑ OEIS sekvence A033308 _
↑ Hardy, Wright, 1938 , str. 113.
↑ A030168
↑ Hardy, Wright, 1938 , str. 112.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Copeland-Erdos Constant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
GH Hardy , EM Wright. Úvod do teorie čísel. — 5. vyd. . - Oxford University Press , 1938. - ISBN 0-19-853171-0 .