V geodézii , úloha přechodu mezi různými souřadnicovými systémy vyvstává z existence rozmanitých souřadnicových systémů , které se vynořily po celém světě v průběhu doby. Využití různých souřadnicových systémů při řešení praktických problémů geodézie , kartografie , navigace a v geografických informačních systémech je nevyhnutelné. Existuje několik typů transformací souřadnic: přechod mezi různými formáty souřadnic , přechod mezi různými souřadnicovými systémy a mapovými projekcemi a transformace dat . Všechny tyto typy transformace budou diskutovány v tomto článku.[jeden]
Označit zeměpisné místo obvykle znamená sdělit zeměpisnou šířku a délku místa. Číselné hodnoty pro zeměpisnou šířku a délku mohou být reprezentovány v několika různých typech jednotek a formátů: [2]
sexagesimální : stupně, minuty a sekundy: 40° 26′ 46″ N 79° 58′ 56″ W
stupně a desetinné minuty: 40° 26,767′ N 79° 58,933′ zd
desetinné stupně : 40,446° N 79,982° W
Stupeň má 60 minut a minuta 60 sekund. Proto pro převod ze stupňů/minut/sekund na desetinné stupně můžete použít vzorec:
desetinné stupně=stupně+minuty/60+sekundy/3600.
Chcete-li převést zpět z desetinného formátu stupňů na formát stupňů/minut/sekund, můžete použít vzorce:
stupně = [desetinné stupně]
minuty =[60*(desetinné stupně-stupně)]
sekund = 3600*(desetinné stupně-stupně)-60*minut
kde zápis [ x ] znamená, že musíte vzít celou část x a odkázat na „ funkci police “.
Transformace souřadnicového systému je přechod z jednoho souřadnicového systému do druhého, přičemž oba souřadnicové systémy jsou založeny na stejném geodetickém základu. Úkolem transformace je často změna z geodetického souřadnicového systému na pravoúhlé souřadnice nebo změna z jedné projekce mapy na jinou.
Pravoúhlé souřadnice bodů v prostoru lze vypočítat ze známých geodetických souřadnic těchto bodů (zeměpisná šířka B, zeměpisná délka L, výška H) pomocí vzorců: [3]
kde
kde a jsou rovníkové (hlavní poloosa) a polární poloměry (vedlejší poloosa). je druhá mocnina první excentricity elipsoidu. poloměr křivosti první svislice je vzdálenost podél normály k elipsoidu od průsečíku plochy elipsoidu s normálou k ose oZ (obr. 1).
Při přechodu z pravoúhlých prostorových souřadnic do geodetického souřadnicového systému (jako je WGS84 ) je často nutné geodetické zeměpisné šířky B a výšky H vypočítat iterativně, to znamená prováděním postupných aproximací. Pokud jde o zeměpisné délky L, počítají se obvyklým způsobem.
Existuje několik metod pro výpočet geodetických zeměpisných šířek a výšek, my zvážíme dvě z nich.
Newton-Raphsonova metodaNásledující iracionální Bowringova rovnice [4] pro geodetickou šířku je řešena Newton-Raphsonovou iterační metodou : [5] [6]
kde ,
Zeměpisnou šířku B lze zjistit z rovnice .
Výška H se vypočítá takto:
Iteraci lze převést do následující podoby:
kde
Konstanta je dobrou výchozí hodnotou pro iteraci, když . Bowring ukázal, že v takových případech již první iterace poskytuje dostatečně přesné řešení. Ve své původní formulaci použil další goniometrické funkce .
Ferrari rozhodnutíVýše uvedená rovnice pro může být vyřešena Ferrari metodou : [7] [8]
Použití Ferrariho rozhodnutí
Existuje celá řada metod a algoritmů, ale nejpřesnější je podle Zhu [9] následující sekvence stanovená Heikkinenem [10] . Předpokládá se, že geodetické parametry jsou známy.
Poznámka: arctan2 [Y, X] je zadní tečna ke čtyřem kvadrantům.
Mocninná řadaPro malé e 2 začíná výkonová řada od
Převod z geodetických souřadnic na topocentrické souřadnice ENU se skládá ze dvou kroků:
Pro převod pravoúhlých souřadnic na topocentrické souřadnice potřebujete znát počáteční bod topocentrického souřadnicového systému, obvykle se nachází v nějakém pozorovacím bodě. Pokud je pozorování provedeno v bodě a pozorovaný objekt je v, pak má vektor poloměru tohoto směru v souřadnicovém systému ENU tvar:
Transformace souřadnic z topocentrického souřadnicového systému ENU na pravoúhlý.Inverzní transformací souřadnic z pravoúhlého systému získáme topocentrický souřadný systém:
Převod souřadnic a poloh na mapě mezi různými projekcemi mapy , vázanými na stejný geodetický povrch , lze provést buď pomocí vzorců pro přímý přechod z jedné projekce do druhé, nebo se nejprve projekce převede na mezilehlý souřadnicový systém, například obdélníkový, a již z ní do projekce . Použité vzorce mohou být složité, v některých případech transformace nemá uzavřené tvarové řešení a je třeba použít přibližné metody. Obvykle se k provádění úloh transformace souřadnic používají počítačové programy, například s programem GEOTRANS podporovaným DoD a NGA. [jedenáct]
Transformace mezi vztažnými body lze provádět různými způsoby. Existují transformace, které vám umožňují provést přímý přechod z geodetických souřadnic jednoho základu na geodetické souřadnice jiného základu. Existuje méně přímých přechodů, které převádějí geodetické souřadnice na geocentrické (ECEF), převádějí geocentrické souřadnice z jednoho základu na jiný a poté převádějí geocentrické souřadnice jiného údaje zpět na geodetické. Existují také promítací transformace, které umožňují provést přímý přechod z jednoho (datum, projekce) páru do druhého (datum, projekce) páru.
Transformace projekce umožňují přímý přechod ze souřadnic na mapě pro jeden pár (projekce mapy, datum) k souřadnicím na mapě pro jiný pár (projekce mapy, datum). Příkladem je metoda NADCON pro převod z 1927 North American Date (NAD) na 1983 NAD datum [12] . High Accuracy Reference Network (HARN), vysoce přesná verze transformací NADCON, má přesnost přibližně 5 centimetrů. Národní transformace verze 2 ( NTv2 ) je kanadská verze NADCON pro přechod mezi NAD 1927 a NAD 1983 . Metody HARN jsou také známé jako NAD 83/91 a High Precision Grid Networks (HPGN) [13] . Následně Austrálie a Nový Zéland pro sebe přijaly formát NTv2, aby vytvořily metody transformace projekce pro přechody mezi jejich vlastními místními daty.
Stejně jako transformace využívající více regresních rovnic, projekční metody používají k transformaci mapových souřadnic interpolaci nízkého řádu, ale ve dvou prostorech místo tří. NOAA poskytuje software (jako součást NGS Geodetic Toolkit) pro vytváření NADCON transformací. [14] [15]
Molodenského transformace umožňuje provést přímý přechod mezi geodetickými souřadnicemi různých datových bodů bez nutnosti přechodu na geocentrické souřadnice. [16] Vyžaduje tři odsazení mezi středy souřadnicových systémů a rozdíly mezi hlavními poloosami a kompresními parametry referenčních elipsoidů.
Molodenského transformaci používá National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) ve své bílé knize TR8350.2 a také v programu GEOTRANS podporovaném NGA. [17] Molodenského transformace byla populární před nástupem moderních počítačů a metoda je součástí mnoha geodetických programů.
Transformace dat pomocí empirických metod vícenásobné regrese byly navrženy tak, aby bylo dosaženo větší přesnosti pro malé geografické oblasti než standardní Molodenského transformace. Transformační data se používají k převodu místních dat, které jsou generovány pro kontinenty nebo menší regiony, na globální data, jako je WGS 84 . [18] NIMA TM 8350.2, příloha D [19] uvádí transformace pomocí vícenásobných regresních rovnic z několika lokálních dat do WGS 84 s přesností asi 2 metry. [dvacet]
Metoda vícenásobných regresních rovnic umožňuje přímou transformaci geodetických souřadnic bez mezilehlého převodu na geocentrické souřadnice. Geodetické souřadnice v novém základu B jsou modelovány jako polynomy až do devátého stupně v geodetických souřadnicích původního základu A. Přírůstek lze například rozložit jako (zobrazeno je pouze kvadratické rozšíření):
kde
for a podobné rovnice jsou sestaveny. Při dostatečném počtu dvojic souřadnic (A, B) pro body v obou vztažných bodech se pro dobrou statistiku používají metody vícenásobné regrese k přizpůsobení parametrů těchto polynomů. Polynomy spolu s proloženými koeficienty tvoří vícenásobné regresní rovnice.
Použití Helmertovy transformace při přechodu z geodetických souřadnic referenčního bodu ke geodetickým souřadnicím referenčního bodu probíhá ve třech krocích:
1 Převeďte geodetické souřadnice počátku na geocentrické;
2 Použití Helmertovy transformace s vhodnými transformačními parametry pro přechod z geocentrických výchozích souřadnic na geocentrické výchozí souřadnice ;
3 Převod geocentrických souřadnic na geodetické souřadnice pro základ .
Pro geocentrické souřadnice XYZ má Helmertova transformace tvar: [21]
Helmertova transformace je sedmiprvková transformace se třemi offsetovými parametry , třemi rotačními parametry a jedním měřítkovým parametrem . Helmertova transformace je přibližná metoda, kterou lze považovat za přesnou pouze tehdy, když jsou parametry transformace malé ve srovnání s hodnotami vektorů geocentrického souřadnicového systému. Za těchto podmínek lze transformaci považovat za vratnou. [22]
Čtrnáctiparametrová Helmertova transformace s lineární časovou závislostí každého parametru může být použita k pozorování časových změn zeměpisných souřadnic v důsledku geomorfologických procesů , jako je kontinentální drift [23] a zemětřesení . [24] Byl převeden na software, jako je nástroj Horizontal Time Dependent Positioning (HTDP) v softwaru US NGS. [25]
K oddělení offsetů a rotací Helmertovy transformace lze použít tři další parametry, aby se nový střed rotace XYZ dostal blíže k transformovaným souřadnicím. Tato desetiparametrová transformace se nazývá Molodensky-Badekasova transformace a neměla by být zaměňována s jednodušší transformací Molodenského .
Stejně jako při použití Helmertovy transformace se i použití Molodenského-Badekasovy transformace skládá ze tří kroků:
Transformace má tvar [26] :
kde je počátek obrácení a transformace měřítka a je faktor měřítka.Transformace Molodensky-Badekas se používá k převodu místních geodetických údajů na globální údaje, jako je WGS 84 . Na rozdíl od Helmertovy transformace je Molodensky-Badekasova transformace nevratná, protože počátek obrácení se vztahuje k původnímu datu.