Boussinesqova aproximace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. června 2018; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Rovnice tepelné konvekce ( Boussinesqovy rovnice, Boussinesqova aproximace ) v Boussinesq - Oberbeckově aproximaci jsou nejoblíbenějším modelem pro popis konvekce v kapalinách a plynech.

Model obsahuje Navier-Stokesovu rovnici , tepelnou rovnici a rovnici nestlačitelnosti . Hlavní myšlenkou aproximace je vzít v úvahu závislost hustoty na teplotě . Konkrétně v soustavě konvekčních rovnic je tato závislost brána v úvahu pouze pro tělesné síly :

$\rho _{0}\left({\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec { v))\right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v))+\rho (T){\vec {g)),$

${\frac {\partial T}{\partial t))+{\vec v}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0,$

kde je rychlost proudění, je absolutní teplota, je tlak , je dynamická viskozita , je tepelná difuzivita a je zrychlení volného pádu . ${\vec {v}}$ $T$ $p$ $\eta$ $\chi$ ${\vec g}$

Pro závislost hustoty na teplotě se často používá lineární aproximace:

$\rho (T)=\rho _{0}(1-\beta \theta )$ ,

kde je koeficient objemové roztažnosti , je teplotní odchylka od rovnovážného stavu, je hustota kapaliny při nějaké rovnovážné teplotě . Protože teplotní odchylka je obvykle relativně malá, má lineární aproximace přijatelnou přesnost ve většině studovaných problémů. $\beta$ ${\displaystyle \theta =T-T_{0))$ $\rho _{0}$ $T_{0}$ $\beta$

Substituce lineární závislosti hustoty a renormalizace tlaku umožňují eliminovat člen . Nakonec problém konvekce nestlačitelné tekutiny v Boussinesqově aproximaci nabývá následující podoby: $\rho _{0}{\vec {g))$

${\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))=-{\frac { 1}{\rho _{0))}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta \theta {\vec {g)),$

${\frac {\partial \theta }{\partial t))+{\vec {v))\cdot \nabla \theta =\chi \Delta \theta ,$

$\operatorname {div}{\vec v}=0,$

zde je kinematická viskozita . $\nu$

Daný problém konvekce v různých formulacích byl opakovaně studován. Nejznámější je Rayleigh-Benardův problém konvekce v ploché vrstvě kapaliny . Za určitých podmínek je možné exaktní řešení problému, např. pro laminární konvekci ve vertikální vrstvě s ohřevem ze strany (někdy nazývaný „Gershuni problém“).

Viz také

Podmínka pro výskyt konvekce

Literatura

Ostroumov GA Volná tepelná konvekce za podmínek vnitřního problému. Moskva - Leningrad. Gostekhizdat - 1952.
Landau L. D., Lifshits E. M. Kurz teoretické fyziky. T. 6. Hydrodynamika. - M.: Nauka. - 1988. - 736 s. - § 56
Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Stabilita konvektivních toků. - M.: Nauka. - 1989.
Gershuni G. Z., Zhukhovitsky E. M. Konvektivní stabilita nestlačitelné tekutiny. - M.: Nauka. - 1972.
Krigel A. M. O použitelnosti aproximace volné konvekce na atmosférickou turbulenci // Bulletin Leningradské státní univerzity. Univerzita.- Ser.7.-1991.-Iss.2(14).-S.107-110.