Intervaly mezi prvočísly

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. března 2020; kontroly vyžadují 7 úprav .

Intervaly mezi prvočísly jsou rozdíly mezi dvěma po sobě jdoucími prvočísly . N -tý interval, označovaný , je rozdíl mezi ( n + 1)-tým a n -tým prvočíslem, tzn. $g_{n}$

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.

Máme: . Posloupnost intervalů mezi prvočísly je dobře prostudována. Někdy se místo toho uvažuje funkce $g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4$ $g_{n}$ $g(p_{n})$ $g_{n}$

Prvních 30 primárních intervalů je následujících:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 sekvence A001223 v OEIS .

Jednoduché poznámky

Pro libovolné prvočíslo P budeme pomocí P # označovat primorial P , tedy součin všech prvočísel nepřesahujících P . Jestliže Q je prvočíslo následující po P , pak posloupnost

P\#+2,P\#+3,\tečky ,P\#+(Q-1)

je posloupnost po sobě jdoucích složených čísel, takže mezi prvočísly jsou intervaly o délce ne menší než . Mezi prvočísly jsou tedy libovolně velké intervaly a pro každé prvočíslo P je n takové, že (Zřejmě pro to můžeme zvolit n takové, že jde o největší prvočíslo nepřesahující .). Dalším způsobem, jak zjistit, že mezi prvočísly jsou libovolně velké intervaly, je použití skutečnosti, že množina prvočísel má podle věty o prvočíslech hustotu nulu . $Q-2$ $Q-1$ $g_{n}\geqslant P$ $p_n$ $P\#+2$

Ve skutečnosti může interval mezi prvočísly P nastat mezi prvočísly mnohem menšími než P #. Například úplně první sekvence 71 po sobě jdoucích složených čísel je mezi 31398 a 31468, zatímco 71# je 27místné číslo .

Již průměrná hodnota intervalů mezi prvočísly roste jako přirozený logaritmus n .

Na druhé straně, jednoduchá domněnka dvojčete říká, že pro nekonečně mnoho n . $g_{n}=2$

Prvotřídní intervaly lze odhadnout shora a zdola pomocí Jacobsthalovy funkce (sekvence A048670 v OEIS ).

Číselné výsledky

K 16. dubnu 2022 je nejdelší známý interval mezi 208095 cifernými čísly určenými jako pravděpodobná prvočísla 7186572 a M = 14,9985. Byl nalezen Michielem Jansenem pomocí programu vytvořeného JK Andersenem. [1] [2]

K 8. březnu 2013 je největší známý interval mezi 18662 dokázanými prvočísly 1113106 dlouhý a M = 25,90. Nalezli jej P. Cami, M. Jansen a JK Andersen. [4]

Poměr M = g n /ln( p n ) ukazuje, kolikrát se daný interval g n liší od průměrného intervalu mezi prvočísly blízko prvočísla p n . На 2017 год наибольшее известное значение M =41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin [5] .

Vztah S = g n /ln 2 p n (vztah Cramer-Shanks-Granville) je studován v souvislosti s Cramerovou hypotézou , která uvádí, že . Pokud nebudeme uvažovat anomálně vysoké hodnoty S pozorované pro, pak největší známá hodnota S = 0,9206386 byla nalezena pro interval délky 1132 po 16místném prvočíslu 1693182318746371. Tento záznam našel v roce 1999 Bertil Nyman [6] (sekvence A111943 v OEIS obsahuje toto a všechna předcházející prvočísla odpovídající záznamovým hodnotám S ). $g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})$ $p_{n}=2,3,7,$ $p_{n}\geq 23$

Řekneme si , jaký je maximální interval pokud pro všechny . Mezi prvními prvočísly jsou přibližně maximální intervaly [7] ; viz také sekvence OEIS A005250 . $g_{n}$ $k<n$ ${\displaystyle g_{k}<g_{n))$ $n$ $2\ln n$

Prvních 82 maximálních intervalů ( n není uvedeno; viz OEIS A005669)

1 až 30

#	gn _	p n
jeden	jeden	2
2	2	3
3	čtyři	7
čtyři	6	23
5	osm	89
6	čtrnáct	113
7	osmnáct	523
osm	dvacet	887
9	22	1129
deset	34	1327
jedenáct	36	9551
12	44	15683
13	52	19609
čtrnáct	72	31397
patnáct	86	155921
16	96	360653
17	112	370261
osmnáct	114	492113
19	118	1349533
dvacet	132	1357201
21	148	2010733
22	154	4652353
23	180	17051707
24	210	20831323
25	220	47326693
26	222	122164747
27	234	189695659
28	248	191912783
29	250	387096133
třicet	282	436273009

31 až 60

#	gn _	p n
31	288	1294268491
32	292	1453168141
33	320	2300942549
34	336	3842610773
35	354	4302407359
36	382	10726904659
37	384	20678048297
38	394	22367084959
39	456	25056082087
40	464	42652618343
41	468	127976334671
42	474	182226896239
43	486	241160624143
44	490	297501075799
45	500	303371455241
46	514	304599508537
47	516	416608695821
48	532	461690510011
49	534	614487453523
padesáti	540	738832927927
51	582	1346294310749
52	588	1408695493609
53	602	1968188556461
54	652	2614941710599
55	674	7177162611713
56	716	13829048559701
57	766	19581334192423
58	778	42842283925351
59	804	90874329411493
60	806	171231342420521

61 až 82

#	gn _	p n
61	906	218209405436543
62	916	1189459969825483
63	924	1686994940955803
64	1132	1693182318746371
65	1184	43841547845541059
66	1198	55350776431903243
67	1220	80873624627234849
68	1224	203986478517455989
69	1248	218034721194214273
70	1272	305405826521087869
71	1328	352521223451364323
72	1356	401429925999153707
73	1370	418032645936712127
74	1442	804212830686677669
75	1476	1425172824437699411
76	1488	5733241593241196731
77	1510	6787988999657777797
78	1526	15570628755536096243
79	1530	17678654157568189057
80	1550	18361375334787046697
81	1552	18470057946260698231
82	1572	18571673432051830099
83
84
85
86
87
88
89
90

Největší intervaly prvních deseti tisíc

Již ve druhé tisícině je interval, dlouhý 34 čísel, ve kterém nejsou žádná prvočísla - (1327-1361). Tento interval navíc drží rekord v délce do deseti tisíc. Pouze v devátém tisíci je druhý interval stejné délky - (8467-8501) a v desátém - delší interval (36 čísel) - (9551-9587), což je nejdelší interval z prvních deseti tisíc . Existuje také interval o délce 32 čísel - (5591-5623).

Další výsledky

Horní hranice

Bertrandův postulát říká, že pro jakékoli k existuje vždy alespoň jedno prvočíslo mezi k a 2 k , tedy zejména , odkud . ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n))$ ${\displaystyle g_{n}<p_{n))$

Věta o distribuci prvočísel říká, že „průměrná délka“ intervalů mezi prvočíslem p a dalším prvočíslem je řádu . Skutečná délka intervalu může být větší nebo menší než tato hodnota. Nicméně z věty o rozdělení prvočísel lze odvodit horní mez pro délku intervalů prvočísel: pro jakékoli existuje takové N , že pro všechny bude . $\ln str$ $\varepsilon >0$ $n>N$ $g_{n}<\varepsilon p_{n}$

Hoheisel byl první, kdo ukázal [8] , že taková konstanta existuje $\theta<1$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

x\to +\infty

z toho tedy plyne

g_{n}<p_{n}^{\theta },

pro dostatečně velké n .

Z toho vyplývá, že intervaly mezi prvočísly se libovolně zmenšují s ohledem na prvočísla: podíl inklinuje k nule, zatímco n inklinuje k nekonečnu. $\frac{g_n}{p_n}$

Hoheisel dostal možnou hodnotu 32999/33000 za . Tato vazba byla Heilbronem [9] vylepšena na 249/250 a Chudakovem [10] na libovolnou . $\theta$ $\theta = \frac{3}{4} + \varepsilon$ $\varepsilon >0$

Hlavní zlepšení provedl Ingham [11] , který ukázal, že pokud

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})

pro nějakou konstantu , kde O je použito ve smyslu zápisu O je velké , pak $c>0$

\pi(x + x^\theta) - \pi(x) \sim \frac{x^\theta}{\ln x}

pro jakýkoli . Zde, jako obvykle, označuje Riemannovu zeta funkci , a označuje distribuční funkci prvočísel nepřesahujících x . Je známo, že je povoleno , odkud je jakékoli číslo větší než . Z Inghamova výsledku okamžitě vyplývá, že mezi čísly a pro dostatečně velké n vždy existuje prvočíslo . Všimněte si, že dosud nebyla prokázána Lindelöfova domněnka , která říká, že každé kladné číslo lze vybrat jako c , ale vyplývá z ní, že mezi a pro dostatečně velké n vždy existuje prvočíslo (viz také Legendrova domněnka ). Pokud je tato domněnka správná, pak je možné, že je zapotřebí ještě přísnější Cramerova domněnka . Jedním z dosažených přiblížení Legendreho dohadu je prokázaná skutečnost, že . [12] $\theta > \frac{1+4c}{2+4c}$ $\zeta$ $\pi(x)$ $c > \frac{1}{6}$ $\theta$ $\frac{5}{8}$ $n^3$ $(n+1)^3$ $n^{2}$ $(n+1)^2$ $g(p_{n})=O({p_{n))^{\frac {21}{40)))$

Martin Huxley ukázal, že si lze vybrat [13] . $\theta = \frac{7}{12}$

Poslední výsledek je zásluhou Backera, Harmana a Pinze , kteří ukázali, že 0,525 lze vzít. [12] $\theta$

V roce 2005 to dokázali Daniel Goldston , Janos Pinc a Cem Yildirim

\liminf_{n\to+\infty}\frac{g_n}{\ln p_n}=0

a později to zlepšil [14] na

\liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}({\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2} }}<\infty

V roce 2013 Zhang Yitang předložil článek dokazující, že [15]

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.

Tento výsledek byl opakovaně vylepšován až na

\liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.

Zejména odtud vyplývá, že množina všech dvojic prvočísel, jejichž rozdíl nepřesahuje 246, je nekonečná [16] [17] .

Dolní hranice

Robert Rankin dokázal, že existuje konstanta taková, že nerovnost $c>0$

g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2 }}}

přetrvává pro nekonečně mnoho hodnot n . Nejznámější hodnota pro c je zatím , kde je Euler-Mascheroniho konstanta . [18] Paul Erdős nabídl cenu 5 000 $ za prokázání nebo vyvrácení toho, že konstanta c ve výše uvedené nerovnosti může být libovolně velká. [19] $c=2e^{\gamma }$ $\gamma$

Hypotézy o intervalech mezi prvočísly

Zde jsou možné ještě lepší výsledky než ty, které lze získat za předpokladu pravdivosti Riemannovy hypotézy . Harald Cramer dokázal, že je-li Riemannova hypotéza pravdivá, pak intervaly vztah splňují $g(p_{n})$

g(p_n) = O(\sqrt{p_n} \ln p_n),

(zde se používá označení O velký ). Později navrhl, že intervaly rostou mnohem méně. Zhruba řečeno to předpokládal

g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).

V tuto chvíli to naznačují numerické výpočty. Další podrobnosti naleznete v Cramerově hypotéze .

Tvrdí to hypotéza Andrica

g(p_n) < 2\sqrt{p_n} + 1.

Toto je slabé posílení Legendreovy domněnky , která říká, že mezi jakoukoliv dvojicí druhých mocnin přirozených čísel je alespoň jedno prvočíslo.

Intervaly mezi prvočísly jako aritmetická funkce

Interval mezi n- tým a ( n + 1)-tým prvočíslem je příkladem aritmetické funkce . V této souvislosti se obvykle označuje a nazývá rozdíl mezi prvočísly [19] . Rozdíl mezi prvočísly není ani multiplikativní , ani aditivní aritmetická funkce . $g_{n}$ $d_{n}$

Viz také

Poznámky

↑ Oznámení MJansena na Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (16. dubna 2022). Archivováno z originálu 29. září 2022. (neurčitý)
↑ mart_r Oznámení o ověření na Mersenneforum.org . Mersenneforum.org (14. července 2022). Archivováno z originálu 27. července 2022. (neurčitý)
↑ Andersen, Jens Kruse Megapropast se zásluhou 25.9 . primerecords.dk (8. března 2013). Získáno 29. září 2022. Archivováno z originálu dne 25. prosince 2019. (neurčitý)
↑ Pěkně, TR, Nový prvočíslo s maximální známou hodnotou . Získáno 6. června 2020. Archivováno z originálu dne 30. dubna 2021. (neurčitý)
↑ Pěkně, TR, První výskyt prvočíselných mezer . Staženo 6. června 2020. Archivováno z originálu 11. prosince 2019. (neurčitý)
↑ Kourbatov, A. Na n th rekordní mezeře mezi prvočísly v aritmetickém postupu (anglicky) // Int. Matematika. Fórum: časopis. - 2018. - Sv. 13 , č. 2 . - str. 65-78 . - doi : 10.12988/imf.2018.712103 . - arXiv : 1709.05508 .
↑ Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis (neopr.) // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. - 1930. - T. 33 . - S. 3-11 .
↑ Heilbronn, HA Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel // Mathematische Zeitschrift : deník. - 1933. - Sv. 36 , č. 1 . - str. 394-423 . - doi : 10.1007/BF01188631 .
↑ Tchudakoff, NG O rozdílu dvou sousedních prvočísel // Math . Sb. : deník. - 1936. - Sv. 1 . - str. 799-814 .
↑ Ingham, AE O rozdílu mezi po sobě jdoucími prvočísly // Quarterly Journal of Mathematics : deník. - 1937. - Sv. 8 , č. 1 . - str. 255-266 . doi : 10.1093 / qmath/os-8.1.255 .
↑ 1 2 Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. Rozdíl mezi po sobě jdoucími prvočísly, II (neurčitý) // Proceedings of the London Mathematical Society. - 2001. - T. 83 , č. 3 . - S. 532-562 . - doi : 10.1112/plms/83.3.532 .
↑ Huxley, MN O rozdílu mezi po sobě jdoucími prvočísly // Inventiones Mathematicae : journal . - 1972. - Sv. 15 , č. 2 . - S. 164-170 . - doi : 10.1007/BF01418933 .
↑ arXiv : 0710.2728
↑ Zhang, Yitang. Ohraničené mezery mezi prvočísly (anglicky) // Annals of Mathematics : journal. — Princetonská univerzita a Institut pro pokročilé studium.
↑ Ohraničené mezery mezi prvočísly . polymath. Získáno 21. července 2013. Archivováno z originálu dne 28. února 2020. (neurčitý) >
↑ D.H.J. Polymath. Varianty Selbergova síta a ohraničené intervaly obsahující mnoho prvočísel // Research in the Mathematical Sciences : journal. - 2014. - Sv. 1 . - doi : 10.1186/s40687-014-0012-7 . - arXiv : 1407,4897 .
↑ Pintz, J. Velmi velké mezery mezi po sobě jdoucími prvočísly // J. Teorie čísel : časopis. - 1997. - Sv. 63 , č. 2 . - S. 286-301 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2081 .
↑ 12 Chlap , RKNeřešené problémy v teorii čísel (neopr.) . - Třetí. - New York: Springer, 2004. - S. 31. - ISBN 0387208607 .

Odkazy

Thomas R. Nicely , Některé výsledky výpočetního výzkumu prvočísel – výpočetní teorie čísel . Tato referenční webová stránka obsahuje seznam všech prvních známých výskytových nedostatků.
Weisstein, Eric W. Funkce Prime Difference Function (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143
Chris Caldwell , Mezery mezi prvočísly