Andritsova hypotéza

Andricina hypotéza je hypotéza týkající se intervalů mezi prvočísly , podle které nerovnost:

{\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1

platí pro všechny , kde je -té prvočíslo . Pokud znamená -tý interval , pak lze Andricinu domněnku přepsat jako: $n$ $p_n$ $n$ ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n))$ $n$

g_{n}<2{\sqrt {p_{n))}+1

Formuloval rumunský matematik Dorin Andrica v roce 1986 [1] .

Empirické potvrzení

Na počátku 21. století byla hypotéza testována pomocí údajů o největších intervalech prvočísel až [2] . Pomocí tabulky maximálních intervalů a nerovnice pro intervaly můžete hodnotu potvrzení rozšířit až na . $1{,}3002\times 10^{16}$ $4\times 10^{18}$

Existuje grafické znázornění hypotézy: u diskrétní funkce (Andritzova funkce) je největší hodnota pozorována v bodě s hodnotou a mezi prvními 105 prvočísly nejsou žádné větší hodnoty . Protože Andritzova funkce klesá asymptoticky jako , je domněnka s vysokou pravděpodobností pravdivá, ale zůstává neprokázaná. $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ $n=4$ $A_{4}\cca 0{,}670873\tečky$ $n$

Zobecnění

Jako zobecnění Andricovy domněnky se uvažuje následující rovnost:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,

kde je -té prvočíslo a může být libovolné kladné (reálné) číslo. $p_{n}$ $n$ $X$

Největší možné řešení pro je nalezeno pro , když . Existuje hypotéza, že nejmenší hodnota je [3] , což je při . $X$ $n=1$ $x_{\max }=1$ $X$ $x_{\min }\cca 0{,}567148\dots$ $n=30$

Tato domněnka je formulována jako nerovnost zobecňující Andricinu domněnku:

p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1

pro .

{\displaystyle x<x_{\min ))

Viz také

Poznámky

↑ Andrica, 1986 , str. 44–48.
↑ Wells, 2005 , str. 13.
↑ OEIS sekvence A038458 _

Literatura

Richard K Guy . Neřešené problémy v teorii čísel. — 3. - Springer-Verlag , 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Andrica D. Poznámka k domněnce v teorii prvočísel // Studia Univ. Babes–Bolyai Math.. - 1986. - V. 31 , č. 4 . — S. 44–48 . — ISSN 0252-1938 .
Prvočísla: Nejzáhadnější postavy v matematice. - John Wiley & Sons, Inc., 2005. - ISBN 0-471-46234-9 .

Odkazy

Andricina domněnka v PlanetMath
Zobecněná domněnka Andrica Archivována 27. prosince 2019 na Wayback Machine na PlanetMath
Weisstein, Eric W. Andrica's Conjecture (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa