Firuzbekhtova hypotéza

Firuzbekhtova domněnka [1] [2] je domněnka o rozdělení prvočísel . Dohad nese jméno íránské matematičky Faridy Firuzbakht (1962-2019) z univerzity v Isfahánu, která ji navrhla v roce 1982.

Výrok hypotézy

Dohad říká, že (kde je n-té prvočíslo) je přísně klesající funkce n , tzn. $p_{n}^{1/n}$ $p_n$

{\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n))))

pro všechny

n\geqslant 1.

Ekvivalent:

{\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n))))

pro všechny

n\geqslant 1,

viz sekvence A182134 , A246782 .

Potvrzení hypotézy

Pomocí tabulky maximálních intervalů testovala Farida Firuzbakht svou hypotézu až do 4,444⋅10 12 [2] . S rozšířenou tabulkou maximálních rozpětí byl dohad testován pro všechna prvočísla až do [3] [4] . $10^{19}$

Vztah k jiným hypotézám

Pokud je hypotéza pravdivá, pak funkce intervalů mezi prvočísly musí splňovat nerovnost [5] ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n))$

{\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n))

pro všechny

n>4.

Navíc [6 ]

g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1

pro všechny

n>9,

viz také sekvence A111943 . Dohad patří mezi nejsilnější hypotézy o horních hranicích pro intervaly mezi prvočísly, je dokonce o něco silnější než domněnky Cramera a Shankse [4] . Tato domněnka implikuje silnou formu Cramerovy domněnky, a je proto neslučitelná s heuristikou Granvilla, Pintze [7] [8] [9] a Mayera [10] [11] , které předpokládají, že

g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}

se vyskytuje nekonečně mnohokrát pro any where označuje Euler-Mascheroniho konstantu . $\varepsilon >0,$ $\gamma$

Dvě související hypotézy (viz komentáře sekvence A182514 )

\left({\frac {\log p_{n+1}}{\log p_{n}}}\right)^{n}<e,

který je poněkud slabší a

\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log n

pro všechny

n>5,

která je silnější.

Viz také

Věta o prvočíslech

Odkazy

Hans Riesel. Prvočísla a počítačové metody pro faktorizaci , druhé vydání . — Birkhauser, 1985. - ISBN 3-7643-3291-3 .

Literatura

Paul Ribenboim. The Little Book of Bigger Primes Druhé vydání . - 2004. - ISBN 0-387-20169-6 .
Carlos Rivera. Dohad 30. Dohad Firoozbakht . — 2012.
Granville A. Harald Cramér a distribuce prvočísel (anglicky) // Scandinavian Actuarial Journal. - 1995. - Sv. jeden.
Andrew Granville. Neočekávané nesrovnalosti v distribuci prvočísel (anglicky) // Sborník příspěvků z Mezinárodního kongresu matematiků. - 1995. - Sv. jeden.
János Pintz. Cramer vs. Cramér: Na Cramérově pravděpodobnostním modelu pro prvočísla // Funct . Cca. komentář. Matematika.. - 2007. - Sv. 37 , iss. 2 .
Leonard Adleman , Kevin McCurley. Otevřené úlohy v teoretické složitosti čísel, II. Algoritmická teorie čísel (Ithaca, NY, 1994 ) . - Berlin: Springer, 1994. - Sv. 877.- (Poznámky k přednáškám v počítačové vědě).
Helmut Mayer. Prvočísla v krátkých intervalech // The Michigan Mathematical Journal. - 1985. - Sv. 32 , iss. 2 . — ISSN 0026-2285 . - doi : 10,1307/mmj/1029003189 .
Alexej Kurbatov. Prime Gaps : Firoozbakht Conjecture . — 2018.
Nilotpal Kanti Sinha. O nové vlastnosti prvočísel, která vede ke zobecnění Cramerovy domněnky . - 2010. - arXiv : 1010.1399 .
Alexej Kurbatov. Horní mez pro prvočísla související s Firoozbakhtovou domněnkou (anglicky) // Journal of Integer Sequences. - 2015. - Sv. 18. - arXiv : 1506.03042 .

Poznámky

↑ Ribenboim, 2004 , str. 185.
↑ 12 Rivera , 2012 .
↑ Mezery mezi po sobě jdoucími prvočísly . Získáno 25. března 2018. Archivováno z originálu 10. září 2012.
↑ 12. Kourbatov , 2018 .
↑ Sinha, 2010 , str. 1–10.
↑ Kourbatov, 2015 .
↑ Granville, 1995 , str. 12–28.
↑ Granville, 1995 , str. 388–399.
↑ Pintz, 2007 , str. 232–471.
↑ Adleman, McCurley, 1994 , str. 291–322.
↑ Maier, 1985 , str. 221–225.

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa

Třídy prvočísel
Podle vzorce	Farma (2 2 n + 1) Mersenne (2 b ? 1) Double Mersenne (2 2 p ? 1 ? 1) Wagstaff ( 2p + 1)/3 Prota ( k •2 n + 1) Faktoriál ( n ! ± 1) Prvotní ( p n # ± 1) Euklides ( p n # + 1) Pythagoras ( 4n + 1) Pierpont (2 u •3 v + 1) Quartan ( x 4 + y 4 ) Solinas (2 a ± 2 b ± 1) Cullen ( n •2 n + 1) Woodall ( n • 2 n ? 1) Krychlový ( x 3 ? y 3 )/( x ? y ) Carola (2 n ? 1) 2 ? 2 Keňa (2 n + 1) 2 ? 2 Leyland ( x y + y x ) Sabita (3•2 n ? 1) Mlýny (podlaha ( A 3 n ))
Sekvence	fibonacci Luca Pella Newman-Shanks-Williams Perrina Rozdělení čísla Bella • Motzkina
Podle vlastností	Viferikha pár Walla - Sunya - Sunya Wolstenholm Wilson Šťastný Fortunovové Ramanujan Pillai Pravidelný silný Záď Supersingulární (eliptické křivky) Supersingulární (teorie monstrózního nesmyslu) Dobrý Superjednoduché Higgs Vysoký kototient
Závisí na číselném systému	Spokojený dihedrální palindromický Eotsorp Repunites (10 n ? 1)/9 Permutační Prsten zkrácený Strobogramy Minimální Slabě jednoduché Úplně opakované Unikátní prvotní samosplozený Smarandsha - Wellena
Modelky	Blíženci ( p , p + 2) Řetěz dvojčat ( n ? 1, n + 1, 2 n ? 1, 2 n + 1, ...) Trojnásobek prvočísel ( p , p + 2 nebo p + 4, p + 6) Čtyřnásobek prvočísel ( p , p + 2, p + 6, p + 8) k -tice Související ( p , p + 4) Rozdíl o 6 ( p , p + 6) Chena • Sophie Germain ( str , 2 b + 1) Cunninghamovy řetězce ( p , 2 p ± 1, …) Bezpečný ( p , ( p ? 1)/2) Progrese ( p + a•n , n = 0, 1, …) Vyvážený (po sobě jdoucí p ? n , p , p + n )
Podle velikosti	Titanic (více než 1 000 znaků) Obr (10 000+) Megajednoduché (1 000 000+) Největší známý
Komplexní čísla	Ejzenštejnova prvočísla Gaussova prvočísla
Složená čísla	Pseudojednoduché Téměř jednoduché Polojednoduché Interjednoduché
související témata	Pravděpodobně jednoduché Průmyslový ilegální Vzorec prvočísel Intervaly mezi prvočísly