Goldbachův problém

Goldbachův problém ( Goldbachova domněnka , Eulerův problém , Goldbachův binární problém ) je tvrzení, že jakékoli sudé číslo , počínaje 4, lze reprezentovat jako součet dvou prvočísel . Jedná se o otevřený matematický problém  – od roku 2022 tvrzení nebylo prokázáno. Spolu s Riemannovou hypotézou je zařazena do seznamu Hilbertových problémů pod číslem 8 .

Slabší verzi hypotézy - Goldbachův ternární problém , podle kterého lze jakékoli liché číslo počínaje 7 reprezentovat jako součet tří prvočísel , - dokázal v roce 2013 peruánský matematik Harald Gelfgott . Z platnosti binárního Goldbachova problému zřejmým způsobem vyplývá ternární: je-li každé sudé číslo počínaje 4 součtem dvou prvočísel, pak přičtením 3 ke každému sudému číslu získáte všechna lichá čísla od 7.

Historie

V roce 1742 poslal matematik Christian Goldbach dopis Leonhardu Eulerovi , ve kterém učinil následující domněnku: každé liché číslo větší než 5 lze reprezentovat jako součet tří prvočísel.

Euler se o problém začal zajímat a předložil silnější hypotézu: každé sudé číslo větší než dva lze reprezentovat jako součet dvou prvočísel.

První tvrzení se nazývá ternární Goldbachův problém , druhé se nazývá binární Goldbachův problém (nebo Eulerův problém ).

Hypotézu podobnou Goldbachovu ternárnímu problému, ale ve slabší formě, vyslovil Waring v roce 1770 : každé liché číslo je prvočíslo nebo součet tří prvočísel.

Ternární Goldbachův problém

V roce 1923 matematici Hardy a Littlewood ukázali, že pokud platí určité zobecnění Riemannovy hypotézy , platí Goldbachův problém pro všechna dostatečně velká lichá čísla.

V roce 1937 Vinogradov předložil důkaz nezávislý na platnosti Riemannovy hypotézy, to znamená, že dokázal, že každé dostatečně velké liché číslo lze reprezentovat jako součet tří prvočísel. Sám Vinogradov neuvedl explicitní odhad pro toto „dostatečně velké číslo“, ale jeho student Konstantin Borozdin dokázal, že spodní hranice nepřesahuje 3 3 15 ≈ 3,25 × 10 6 846 168 ≈ 10 6 846 168 . To znamená, že toto číslo obsahuje téměř 7 milionů číslic, což znemožňuje přímou kontrolu všech menších čísel.

Následně byl Vinogradovův výsledek mnohonásobně vylepšen, až v roce 1989 Wang a Chen snížili [2] dolní mez na 1043000,5≈1043000≈ 3,33339 ×11,503ee

V roce 1997 Desuiers , Effinger , te Riehl a Zinoviev ukázali [3] , že zobecněná Riemannova hypotéza implikuje platnost Goldbachova ternárního problému. Prokázaly jeho platnost pro čísla větší než 10 20 , zatímco platnost tvrzení pro menší čísla lze snadno zjistit na počítači.

V roce 2013 byla ternární Goldbachova domněnka konečně prokázána Haraldem Gelfgottem [4] [5] [6] [7] .

Binární Goldbachův problém

Binární Goldbachův problém ještě zdaleka není vyřešen.

Vinogradov v roce 1937 a Theodor Estermann v roce 1938 ukázali, že téměř všechna sudá čísla mohou být reprezentována jako součet dvou prvočísel. Tento výsledek byl mírně zvýšen v roce 1975 Hugh Montgomery a Bob Vaughan .  Ukázali, že existují kladné konstanty c a C takové, že počet sudých čísel není větší než N , která nelze reprezentovat jako součet dvou prvočísel, nepřesahuje .  

V roce 1930 Shnirelman dokázal, že jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše 800 000 prvočísel [8] . Tento výsledek byl mnohokrát vylepšen, takže v roce 1995 Olivier Ramaret dokázal, že každé sudé číslo je součtem nejvýše 6 prvočísel.

Z platnosti ternárního Goldbachova dohadu (prokázaného v roce 2013) vyplývá, že libovolné sudé číslo je součtem nejvýše 4 prvočísel.

V roce 1966 Chen Jingrun dokázal , že každé dostatečně velké sudé číslo může být reprezentováno buď jako součet dvou prvočísel, nebo jako součet prvočísel a poloprvých (součin dvou prvočísel). Například 100 = 23 + 7 11.

Od dubna 2012 byl Goldbachův binární odhad testován [9] pro všechna sudá čísla nepřesahující 4×10 18 .

Pokud je Goldbachova binární hypotéza špatná, pak existuje algoritmus , který dříve nebo později odhalí její porušení.

Binární Goldbachovu domněnku lze přeformulovat jako tvrzení o neřešitelnosti diofantické rovnice 4. stupně nějaké speciální formy [10] [11] .

V kultuře

V roce 1992 vyšel „román myšlenek“ od Apostolose Doxiadise „ Strýček Petros a problém Goldbacha “ a získal extrémní popularitu . Pro propagační účely Faber a Faber slíbili milion dolarů každému čtenáři, který dokáže problém vyřešit do dvou let od uvedení do oběhu. Román byl přeložen do desítek jazyků, v roce 2002 se objevil jeho ruský překlad [12] .

Goldbachův problém je důležitým bodem zápletky ve filmu Past Farm z roku 2007 a pilotním díle Lewise z roku 2006 .

Poznámky

1. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125-129 Archivováno 1. července 2019 na Wayback Machine
2. ↑ JR Chen a TZ Wang, O lichém Goldbachově problému, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702-718. Dodatek 34 (1991) 143-144.
3. ↑ Jean-Marc Deshouillers Archivováno 25. října 2012 na Wayback Machine , Gove Effinger Archived 1. října 2012 na Wayback Machine , Herman te Riele Archivováno 29. března 2012 na Wayback Machine , Dmitrii Zinoviev Machine2014 Archived Ayback Machine 2014 August kompletní Vinogradov 3-teorém prvočísel podle Riemannovy hypotézy , Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol. 3, str. 99 - 104. 1997.
4. ↑ Terence Tao – Google+ – Rušný den v analytické teorii čísel; Harald Helfgott má…  (anglicky) . Získáno 10. června 2013. Archivováno z originálu dne 22. března 2017.
5. ↑ Hlavní oblouky pro Goldbachovu větu Archivováno 29. července 2013 na Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
6. ↑ Goldbachovy variace archivovány 16. prosince 2013 na Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, 15. května 2013
7. ↑ Dva důkazy Spark a Prime Week for Number Theory Archived 23. června 2013 na Wayback Machine // Science 24 May 2013: Vol. 340 č. 6135 p. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
8. ↑ R. Courant, G. Robbins Co je matematika? Archivováno 11. ledna 2014 na Wayback Machine  - 3rd ed., rev. a doplňkové — M.: MTSNMO, 2001.
9. ↑ Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture  na webu Wolfram MathWorld .
10. ↑ Jurij Matijaševič. Hilbertův desátý problém: Co bylo uděláno a co je třeba udělat Archivováno 13. června 2010 na Wayback Machine .
11. ↑ Matiyasevich Yu.V. Hilbertův desátý problém . — Nauka, 1993.  (Ruština) […] můžeme Goldbachovu domněnku přeformulovat jako tvrzení, že diofantická rovnice je řešitelná s ohledem na všechny hodnoty parametru
12. ↑ Strýček Petros a problém Goldbacha ( Archivováno 14. září 2017 na Wayback Machine ) na webu Ozon.

Literatura

• " Matematická encyklopedie ". M. 1977. Svazek I, str. 94, článek "Problémy s aditivy".
• Prahar K. P. Rozdělení prvočísel . - M .: " Mir ", 1967. - 512 s. (Ruština)
• Ian Stewart . Území prvočísel. Goldbachův problém // Největší matematické problémy. - M . : " Alpina literatura faktu ", 2016. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 . (Ruština)

Odkazy

• Konyaev, Andrej . Bůh miluje trojici . Jeden z nejstarších a nejobtížnějších matematických problémů byl vyřešen . Lenta.ru (17. června 2013) .  — O dokončení důkazu ternárního Goldbachova problému. Získáno 21. ledna 2016. Archivováno z originálu 19. června 2013. (Ruština)
• Petrov S. Absolutní programování. Rekurze  je příkladem typického pseudomatematického pokusu dokázat Goldbachův problém proséváním.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus
V bibliografických katalozích	BNF : 13745227d J9U : 987007544410505171 LCCN : sh97007184