Bateman-Horn hypotéza

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Bateman-Hornův dohad je číselně teoretický výrok o frekvenci prvočísel mezi hodnotami systému polynomů . Zformulovali Paul Bateman a Roger Horn v roce 1962. Jde o zobecnění Hardy-Littlewoodovy domněnky o hustotě dvojčíselných prvočísel a domněnky o prvočíslech tvaru n 2 + 1; a je také posílením hypotézy H .

Definice

Bateman-Horn hypotéza poskytuje[ objasnit ] předpokládanou hustotu kladných celých čísel tak, že všechny dané polynomy mají prvočísla. Pro množinu m odlišných ireducibilních polynomů ƒ 1 , …, ƒ m s celočíselnými koeficienty je samozřejmou nezbytnou podmínkou pro to, aby polynomy současně nekonečně často generovaly prvočísla, aby splňovaly Bunyakovského vlastnost , že neexistuje prvočíslo p to dělí jejich součin f ( n ) každým kladným celým číslem n . Kdyby totiž existovalo takové prvočíslo p , pak mít všechny polynomické hodnoty současně prvočíslo pro dané n by znamenalo, že alespoň jedna z nich musí být rovna p , což se může stát pouze pro konečný počet hodnot n , jinak bude existovat polynom s nekonečným počtem kořenů, zatímco dohad je, jak specifikovat podmínky, za kterých jsou hodnoty současně prvočísla pro nekonečné číslo n .

Celé číslo n je generující prvočíslo pro daný systém polynomů, pokud každý polynom ƒ i ( n ) dává prvočíslo, když je dáno n jako argument. Jestliže P ( x ) je počet celých čísel generujících prvočísla mezi kladnými celými čísly menšími než x , pak Bateman-Hornův dohad říká, že

P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,

kde D je součin mocnin polynomů a C součin prvočísel p .

C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m))}\

s počtem řešení pro $N(p)$

f(n)\equiv 0{\pmod {p)).\

Bunyakovského vlastnost implikuje pro všechna prvočísla p , takže každý faktor v nekonečném součinu C je kladný. Pak by se intuitivně očekávalo, že konstanta C je sama o sobě kladná, a to lze při určité práci dokázat. (Je potřeba práce, protože některé nekonečné součiny kladných čísel jsou nula.) $N(p)<p$

Záporná čísla

Jak je uvedeno výše, domněnka je nepravdivá: jediný polynom ƒ 1 ( x ) = − x dává záporná čísla pouze tehdy, je-li zadán kladný argument, takže podíl prvočísel mezi jeho hodnotami je vždy nula. Existují dva stejně platné způsoby, jak upřesnit hypotézu, abyste se vyhnuli tomuto problému:

Lze požadovat, aby všechny polynomy měly kladné vodicí koeficienty, takže pouze konstantní počet jejich hodnot může být záporný.
Alternativně lze povolit záporné prováděcí koeficienty, ale uvažovat prvočíslo záporného čísla, pokud je jeho absolutní hodnota prvočíslo.

Je rozumné povolit, aby záporná čísla byla považována za prvočísla jako krok k formulování obecnějších předpokladů použitelných pro jiné číselné soustavy než celá čísla, ale zároveň je snadné polynomy jednoduše negovat a v případě potřeby je redukovat na případ, kdy vodicí koeficienty jsou kladné.

Příklady

Pokud se systém polynomů skládá z jediného polynomu ƒ 1 ( x ) = x , pak hodnoty n , pro které ƒ 1 ( n ) jsou prvočísla, jsou samy prvočísla a domněnka se stává přeformulováním prvočísla. teorém .

Pokud se systém polynomů skládá ze dvou polynomů ƒ 1 ( x ) = x a ƒ 2 ( x ) = x + 2, pak hodnoty n , pro které jsou oba ƒ 1 ( n ) i ƒ 2 ( n ) prvočísla čísla, pak je to jednoduše menší ze dvou prvočísel v každém páru dvojčat . V tomto případě se domněnka Bateman-Horn redukuje na domněnku Hardyho-Littlewooda o hustotě prvočísel dvojčat, podle níž je počet dvojic prvočísel menší než x

\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2))}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\cca 1,32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

Analog pro polynomy nad konečným tělesem

Když jsou celá čísla nahrazena polynomickým kruhem F [ u ] pro konečné pole F , lze se ptát, jak často konečná množina polynomů f i ( x ) v F [ u ][ x ] současně nabývá neredukovatelných hodnot v F [ u ] když nahradíme x prvků F [ u ]. Známé analogie mezi celými čísly a F [ u ] nabízejí analogii Bateman-Hornovy domněnky o F [ u ], ale analogie je chybná. Data například ukazují, že polynom

x^{3}+u\,

v F 3 [ u ][ x ] nabývá (asymptoticky) očekávaný počet neredukovatelných hodnot, když x prochází polynomy v F 3 [ u ] lichého stupně , ale zdá se, že nabývá (asymptoticky) dvakrát tolik neredukovatelných hodnot jak se očekává, když x přechází přes polynomy stupně 2 modulo 4, zatímco (prokazatelně) nenabývá vůbec žádné neredukovatelné hodnoty, když x přechází přes nekonstantní polynomy se stupněm dělitelným 4. Analoga Bateman-Hornovy domněnky o F [ u ], která odpovídá numerickým datům, používá další asymptotický faktor, který závisí na hodnotě d modulo 4, kde d je stupeň polynomů v F [ u ], přes který je vzorkováno x .

Odkazy

Bateman Paul Trevier, Horne Roger Alan (1962), Heuristický asymptotický vzorec pro rozdělení prvočísel , Mathematics of Computing V. 16 (79): 363–367 , DOI 10.2307/2004056
Guy, Richard Kennett (2004), Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vydání), Springer Publishing , ISBN 978-0-387-20860-2
Friedlander John, Granville Andrew (1991), Omezení jednotné distribuce prvočísel. IV. , Proceedings of the Royal Society A T. 435 (1893): 197–204 , doi 10.1098/rspa.1991.0138 .
Soren Laing Aletia-Zomlefer, Lenny Fukshsky, Stefan Ramon Garcia (25. července 2018), JEDNA HYPOTÉZA, KTERÁ JE VŠEM OVLÁDNE: BATEMAN–HORN , str. 1–45

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa