Poyova hypotéza

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. srpna 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Poyova domněnka je domněnka v teorii čísel navržená Györgym Poyou v roce 1919 a vyvrácená Hazelgroveem v roce 1958 . Hodnota nejmenšího protipříkladu k němu - 906 150 257 - se často používá jako ilustrace toho, že i hypotézy testované na obrovských číselných intervalech lze vyvrátit a vyžadují rigorózní důkazy.

Hypotéza říká, že alespoň polovinu přirozených čísel menších než jakékoli předem stanovené číslo lze rozložit na lichý počet prvočinitelů, přičemž se vezme v úvahu násobnost, to znamená, že pro jakékoli platí nerovnost : $n$

L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leqslant 0

kde je Liouvilleova funkce , která má hodnotu , pokud je rozložena na sudý počet prvočinitelů, přičemž se bere v úvahu násobnost, a jinak. Fráze „vzít v úvahu mnohost“ zde znamená, že každý faktor je brán v úvahu tolikrát, kolikrát se rovná jeho stupni rozkladu. $\lambda (k)$ $jeden$ $k$ $-jeden$

Tato domněnka byla vyvrácena v roce 1958 Hazelgroveem, který ukázal, že existuje protipříklad a odhadl jej na asi . První konkrétní protipříklad našel Sherman-Lehman v letech 1960 - 906 180 359 . V roce 1980 byl vypočten nejmenší protipříklad - 906 150 257 . Hypotéza je nepravdivá pro většinu čísel mezi 906150257 a 906488079 ; maximum, kterého v tomto rozmezí dosahuje, je 829 (pro 906 316 571 ). Není známo, zda [1] změní znaménko nekonečněkrát . $1{,}845\cdot 10^{361}$ $L(n)$ $L(n)$

Nuly funkce $L(n)$

Nuly funkce jsou rozloženy extrémně nerovnoměrně, jejich sekvence začíná následovně [2] : $L(n)$

2; čtyři; 6; deset; 16; 26; 40; 96; 586; 906 150 256 ; 906 150 294 ; 906 150 308 ; 906 150 310 ; 906 150 314 , …

Pomalý růst pokračuje, dokud termín 252 není 906488080 a další termín je již 351100332278250 .

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Pólya Conjecture na webu Wolfram MathWorld .
↑ OEIS sekvence A028488 _

Odkazy

Doporučené video na SparksMaths archivované 28. srpna 2020 na Wayback Machine
Článek MathWorld byl archivován 18. března 2020 na Wayback Machine

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa