Mersennovy hypotézy

Mersennovy hypotézy se týkají popisu prvočísel Mersennových čísel (čísla rovnající se mocninám dvou bez jednotky).

Původní Mersennova domněnka

Původní domněnka, nazývaná Mersennova hypotéza , je tvrzení Marina Mersenna v jeho Cogitata Physica-Mathematica (1644; viz Dickson 1919), že čísla jsou prvočísla pro n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 , 67 , 127 a 257 a složený pro všechna ostatní kladná celá čísla n ≤ 257. Kvůli velikosti těchto čísel Mersenne v 17. století všechna tato čísla neotestoval a ani nemohl. Nakonec, po třech stoletích a dostupnosti nových technik, jako je Luc-Lehmerův test , bylo zjištěno, že Mersennova hypotéza obsahuje pět chyb, konkrétně dvě složené ( n = 67, 257) a tři chybějící prvočísla ( n = 61, 89, 107) čísla. Správný seznam: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 a 127.

Zatímco původní Mersennova domněnka není správná, vedla k nové Mersennově hypotéze .

Mersennova nová domněnka

Nová Mersennova domněnka nebo domněnka Batemana, Selfridge a Wagstaffa [1] uvádí, že pro libovolné liché přirozené číslo p , jsou-li splněny kterékoli dvě z následujících podmínek, je splněna i třetí:

  1. p = 2k ± 1 nebo p = 4k ± 3 pro nějaké přirozené číslo k . ( A122834 )
  2. 2 p − 1 je prvočíslo ( Mersennovo číslo ). ( A000043 )
  3. ( 2p + 1) / 3 je prvočíslo ( Wagstaffovo prime ). ( A000978 )

Je-li p liché složené , pak jsou složená čísla také. K otestování správnosti hypotézy tedy stačí otestovat pouze prvočísla.

V současné době je známo, že mezi čísly, pro která jsou splněny všechny tři podmínky, jsou 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 ( A107360 ), a předpokládá se, že mezi čísly většími než 127 jsou žádná čísla , pro které jsou splněny všechny tři podmínky.

Jednoduché, pro které je splněna alespoň jedna podmínka:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 191, 257, 34713, 257, 34713, 2 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 3 9 46 ( A )

Všimněte si, že dvě čísla, se kterými se Mersenne spletl (67 a 257), spadají do podmínek (67 = 2 6  + 3, 257 = 2 8  + 1), ale 89 a 107 nikoli. Mersenne si tedy ve své původní podobě mohl myslet, že 2 p − 1 je prvočíslo právě tehdy, když p = 2 k ± 1 nebo p = 4 k ± 3 pro nějaké přirozené k .

Stav Mersennova dohadu pro prvních 100 prvočísel
2 3 5 7 jedenáct 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
p p má tvar 2 n  ± 1 nebo 4 n  ± 3
p 2 p  − 1 je jednoduché
p (2 p  + 1)/3 je prvočíslo
p p splňuje alespoň jednu podmínku

Novou Mersennovu hypotézu lze chápat jako pokus vyřešit staletí starou Mersennovu hypotézu, která není správná. Podle Roberta D. Silvermana [2] se však John Selfridge domnívá, že nová Mersennova domněnka je „zjevně pravdivá“, protože byla formulována tak, aby uspokojila známá data a protipříklady za podmínek domněnky jsou krajně nepravděpodobné. Lze to považovat spíše za zvědavý postřeh než jako otázku vyžadující ověření.

Renaud Lifshitz ukázal, že nová domněnka platí pro všechna celá čísla menší než 20 996 010 [3] postupným testováním všech lichých prvočísel, u kterých je známo, že je splněna jedna podmínka. Jeho webová stránka [4] dokumentuje výsledky kontroly do tohoto čísla. Další, novější verze stránky o nové domněnce je „Nová domněnka o Mersenne Primes“ [5] .

Lenstra-Pomerans-Wagstaffova hypotéza

Lenstra , Pomerans , a Wagstaff se domnívali, že tam je nekonečně mnoho Mersenne připraví . Přesněji řečeno, počet Mersennových prvočísel menších než x je asymptoticky aproximován o

[6] ,

kde je Euler-Mascheroniho konstanta . Jinými slovy, počet Mersennových prvočísel s exponentem p , který je menší než y , je asymptotický

[6]

To znamená, že by mělo být v průměru asi ≈ 5,92 prvočísel p s daným počtem desetinných míst tak, že je prvočíslo.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Bateman, Selfridge, Wagstaff, 1989 , str. 125-128.
  2. ↑ Téma: The New Mersenne Conjecture  . mersenneforum.org . Archivováno z originálu 15. června 2017.
  3. ↑ The New Mersenne Prime Conjecture on Prime Pages  . Získáno 20. března 2018. Archivováno z originálu 6. března 2018.
  4. ↑ Renaud Lifchitz. Stav „nové Mersennovy domněnky  “ . www.primenumbers.net . Archivováno z originálu 3. dubna 2019.
  5. ↑ Chris K. Caldwell. Nová Mersennova primární domněnka  . Hlavní stránky . Archivováno z originálu 6. března 2018.
  6. ↑ 1 2 Heuristika: Odvození odhadu Wagstaffa Mersenna Archivováno 5. března 2018 na Wayback Machine . The Prime Pages . Získáno dne 2014-05-11.

Literatura

Odkazy

 Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy