Dvojčíslí

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. prosince 2021; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Dvojčíslí ( párová prvočísla ) jsou dvojice prvočísel , které se liší o 2.

Obecné informace

Všechny dvojice čísel dvojčat, kromě (3, 5), mají tvar, protože čísla s jinými zbytky modulo 6 jsou dělitelná 2 nebo 3. Pokud vezmeme v úvahu i dělitelnost 5, pak se ukáže, že všechny dvojice dvojčata, kromě prvních dvou, mají tvar nebo . Pro jakékoli celé číslo je pár dvojčetem právě tehdy, když je dělitelný (důsledek Wilsonovy věty ). $18:00\pm 1,$ $30n\pm 1$ $30n+12pm 1$ $30n+18\pm 1$ $m\geqslant 2$ $(m,m+2)$ $4[(m-1)!+1]+m$ $m(m+2)$

První dvojčata [1] :

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101 , 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241) ), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857) , 859), (881, 883)

Největší známá dvojčata jsou čísla [2] . Byly nalezeny v září 2016 v rámci dobrovolného výpočetního projektu PrimeGrid [3] [4] . $2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$

Předpokládá se, že takových párů je nekonečně mnoho, ale není to prokázáno. Podle prvního Hardyho-Littlewoodova dohadu prvočísel nepřesahující , asymptoticky blíží $\pi _{2}(x)$ $X$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}},

kde je konstanta jednoduchých dvojčat : $C_{2}$

C_{2}=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2))}\right)\cca 0,6601618158468695739278121100145\ldots

[5]

Historie

Hypotéza existence nekonečného počtu dvojčísel je otevřená již řadu let. V roce 1849 de Polignac předložil obecnější domněnku ( Polignacova domněnka ): pro každého přirozeného existuje nekonečný počet takových dvojic prvočísel a to . $k$ $p$ $p',$ $pp'=2k$

17. dubna 2013 Ethan Zhang oznámil důkaz, že existuje nekonečně mnoho dvojic prvočísel, které se neliší o více než 70 milionů. Práce byla přijata do Annals of Mathematics v květnu 2013. 30. května 2013 australský matematik Scott Morrison oznámil, že skóre bylo sníženo na 59 470 640 [6] . Doslova o několik dní později australský matematik, držitel Fieldsovy medaile Terence Tao , dokázal, že limit lze snížit o řád – na 4 982 086 [6] . Následně navrhl, aby projekt Polymath spolupracoval na optimalizaci hranice.

V listopadu 2013 použil 27letý britský matematik James Maynard algoritmus vyvinutý v roce 2005 Danielem Goldstonem, Janosem Pintsem a Sem Yildirim nazvaný GPY (zkratka pro první písmena příjmení) a dokázal, že existuje nekonečně mnoho sousedních prvočísla ležící ve vzdálenosti ne více než 600 od sebe. V den vydání preprintu díla Jamese Maynarda zveřejnil Terence Tao na svém osobním blogu příspěvek s návrhem na spuštění nového projektu polymath8b a o týden později bylo skóre sníženo na 576 a 6. ledna 2014 až 270. Nejlepšího vědecky prokázaného výsledku dosáhl v dubnu 2014 Pace Nielsen z Brigham Young University v Utahu, 246 [7] [6] .

Za předpokladu platnosti Elliot-Halberstamovy hypotézy a jejího zobecnění lze skóre snížit na 12, respektive 6 [8] .

Brunova věta

Euler také zjistil ( 1740 ), že řada reciprokých prvočísel se liší:

{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+\tečky =\infty ,

což znamená, že prvočísla jsou běžnější než druhé mocniny. Norský matematik Viggo Brun dokázal (1919), že řada převrácených hodnot pro páry dvojčat také konverguje: $\pi _{2}(x)\ll {\frac {x}{(\ln x)^{2))},$

B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+ {\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1 }{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\ldots \cca 1,902160583104.

To znamená, že pokud existuje nekonečně mnoho jednoduchých dvojčat, pak jsou v přirozené řadě stále poměrně vzácná. Následně byla prokázána konvergence podobné řady pro zobecněná jednoduchá dvojčata.

Hodnota se nazývá Brunova konstanta pro prvočísla. $B_{2}\cca 1,902160583104$

Seznamy

Největší známá jednoduchá dvojčata jsou:

Číslo	Počet desetinných míst
$2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$	388342
$3756801695685\cdot 2^{{666669}}\pm 1$	200700
$65516468355\cdot 2^{{333333}}\pm 1$	100355
$70965694293\cdot 2^{200006}\pm 1$	60219
$66444866235\cdot 2^{200003}\pm 1$	60218
$4884940623\cdot 2^{198800}\pm 1$	59855
$2003663613\cdot 2^{{195000}}\pm 1$	58711
$38529154785\cdot 2^{173250}\pm 1$	52165
$194772106074315\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780
$100314512544015\cdot 2^{171960}\pm 1$	51780

Trojnásobná prvočísla

Jedná se o trojici různých prvočísel, z nichž rozdíl mezi největším a nejmenším je minimální. Nejmenší prvočísla splňující danou podmínku jsou - (2, 3, 5) a (3, 5, 7). Avšak dále ve všech ostatních trojicích je rozdíl mezi největším a nejmenším členem roven šesti a nemůže být menší. To znamená, když to zobecníme, trojice je trojice prvočísel (2, 3, 5), (3, 5, 7), popř . $(p,p+2,p+6)$ $(p,p+4,p+6).$

První trojnásobná prvočísla [9] :

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193) , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

Od roku 2018 jsou největšími známými prvočísly-trojicemi , kde (16737 číslic, duben 2013 [10] ). $(p,p+4,p+6)$ $p=6521953289619\times 2^{55555}-5$

První čtyřčata

Čtyřnásobky prvočísel tvaru nebo dvojčata , nebo čtveřice [11] : $(p,p+2,p+6,p+8),$

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 565759) (65575, 56539) 9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649) (16061, 160863, 161), 16061, 160863, 161), 16061, 160863, 161 , 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429) (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25307, 253), 253

Modulo 30 , všechny čtveřice kromě prvního mají tvar (11, 13, 17, 19).

Modulo 210 , všechny čtveřice, kromě prvního, mají tvar buď (11, 13, 17, 19), nebo (101, 103, 107, 109), nebo (191, 193, 197, 199).

Šestice prvočísel

Šestky prvočísel tvaru [12] : $(p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)$

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 161943) 93, 73) 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

Modulo 210 , všechna šestinedělí kromě prvního mají tvar (97, 101, 103, 107, 109, 113).

Viz také

Poznámky

↑ Sekvence A001359 , A006512 v OEIS
↑ Největší známá prvočísla
↑ Caldwell, Chris K. The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1 . (neurčitý)
↑ Nalezen světový rekord Twin Primes! (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 6. ledna 2017. Archivováno z originálu 4. ledna 2018. (neurčitý)
↑ Sekvence OEIS A005597 je desetinný rozvoj dvojité prvočíslo konstanty.
↑ 1 2 3 Sergej Nemalevič. Bratře, jsi v pořádku? . Online publikace N + 1 (6. listopadu 2015). Datum přístupu: 10. listopadu 2015. (Ruština)
↑ Ohraničené mezery mezi prvočísly . polymath. Staženo: 27. března 2014. (neurčitý)
↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 a http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf
↑ OEIS sekvence A007529 , A098414 , A098415 _
↑ Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW
↑ OEIS sekvence A007530 , A136720 , A136721 , A090258 _
↑ Sekvence A022008 v OEIS

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)

Hypotézy o prvočíslech
Hypotézy	Hardy - Littlewood Před - Jugi Andritsy Artina Bateman-Horn hypotéza Brocard Bunjakovskij Čínská hypotéza Kramer Dixon Elliot-Halberstam Firuzbekht Gilbraith Grimm Landauovy problémy Goldbach Legendre Dvojčíslí Legendrova konstanta Lemoine Mersenne Opperman Polignac Poyi Redmond — Sunya Hypotéza H Waringa

Třídy prvočísel
Podle vzorce	Farma (2 2 n + 1) Mersenne (2 b ? 1) Double Mersenne (2 2 p ? 1 ? 1) Wagstaff ( 2p + 1)/3 Prota ( k •2 n + 1) Faktoriál ( n ! ± 1) Prvotní ( p n # ± 1) Euklides ( p n # + 1) Pythagoras ( 4n + 1) Pierpont (2 u •3 v + 1) Quartan ( x 4 + y 4 ) Solinas (2 a ± 2 b ± 1) Cullen ( n •2 n + 1) Woodall ( n • 2 n ? 1) Krychlový ( x 3 ? y 3 )/( x ? y ) Carola (2 n ? 1) 2 ? 2 Keňa (2 n + 1) 2 ? 2 Leyland ( x y + y x ) Sabita (3•2 n ? 1) Mlýny (podlaha ( A 3 n ))
Sekvence	fibonacci Luca Pella Newman-Shanks-Williams Perrina Rozdělení čísla Bella • Motzkina
Podle vlastností	Viferiha pár Walla - Sunya - Sunya Wolstenholm Wilson Šťastný Fortunovové Ramanujan Pillai Pravidelný silný Záď Supersingulární (eliptické křivky) Supersingulární (teorie monstrózního nesmyslu) Dobrý Superjednoduché Higgs Vysoký kototient
Závisí na číselném systému	Spokojený dihedrální palindromický Eotsorp Repunites (10 n ? 1)/9 Permutační Prsten zkrácený Strobogramy Minimální Slabě jednoduché Úplně opakované Unikátní prvotní samosplozený Smarandsha - Wellena
Modelky	Blíženci ( p , p + 2) Řetěz dvojčat ( n ? 1, n + 1, 2 n ? 1, 2 n + 1, ...) Trojnásobek prvočísel ( p , p + 2 nebo p + 4, p + 6) Čtyřnásobek prvočísel ( p , p + 2, p + 6, p + 8) k -tice Související ( p , p + 4) Rozdíl o 6 ( p , p + 6) Chena • Sophie Germain ( str , 2 b + 1) Cunninghamovy řetězce ( p , 2 p ± 1, …) Bezpečný ( p , ( p ? 1)/2) Progrese ( p + a•n , n = 0, 1, …) Vyvážený (po sobě jdoucí p ? n , p , p + n )
Podle velikosti	Titanic (více než 1 000 znaků) Obr (10 000+) Megajednoduché (1 000 000+) Největší známý
Komplexní čísla	Ejzenštejnova prvočísla Gaussova prvočísla
Složená čísla	Pseudojednoduché Téměř jednoduché Polojednoduché Interjednoduché
související témata	Pravděpodobně jednoduché Průmyslový ilegální Vzorec prvočísel Intervaly mezi prvočísly