Projektor (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V lineární algebře a funkční analýze se lineární operátor jednající v lineárním prostoru nazývá projektor (a také operátor projekce a operátor projekce ), pokud . Takový operátor se nazývá idempotent . $P$ $P^{2}=P$

Navzdory své abstraktnosti tato definice zobecňuje myšlenku konstrukce geometrické projekce .

Jako definici lze použít následující vlastnost projektoru: lineární operátor je projektor právě tehdy, když existují takové podprostory a prostory , které se rozšiřují do jejich přímého součtu , a navíc pro jakoukoli dvojici prvků máme . Podprostory a jsou obrazem a jádrem projektoru a jsou označeny a . $P:X\to X$ $U$ $PROTI$ $X$ $X$ $u\in U,\ v\in V$ $P(u+v)=u$ $U$ $PROTI$ $P$ $\mathrm {Im} P$ $\mathrm {Ker} P$

V obecném případě není rozklad lineárního prostoru na přímý součet ojedinělý. Proto pro podprostor prostoru , obecně řečeno, existuje mnoho projektorů, jejichž obraz nebo jádro se shoduje s . $PROTI$ $X$ $PROTI$

Vlastnosti projekčních operátorů

Dovolit být identický operátor . Pokud je projektor, pak je to také projektor, navíc a . $já$ $P$ $IP$ ${\mathrm {Ker}}{(IP)}={\mathrm {Im}}{P}$ $\mathrm {Im} {(IP)}=\mathrm {Ker} P$
V konečně-rozměrném normovaném prostoru jsou všechny projekční operátory spojité .
U prostoru Banach bude operátor projekce nepřetržitý, pokud je jeho obraz uzavřen , a jádro projektoru bude také uzavřeno. Kontinuální projektor tedy definuje rozklad prostoru na přímý součet uzavřených podprostorů: . $X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$
Vlastní hodnoty projektoru mohou být pouze 0 a 1. Odpovídající vlastní prostory projektoru jsou jeho jádro a obraz.

Kombinace projektorů

Dovolit a být projektory definované na vektorovém prostoru , a promítání na podprostory a , resp. Pak $P_1$ $P_2$ $X$ $M_{1}$ $M_{2}$

$P_{1}+P_{2}$ je projektor v podprostoru tehdy a jen tehdy, když . $M_{1}\oplus M_{2}$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$
$P_{1}-P_{2}$ je projektor tehdy a jen tehdy, když . promítá do subprostoru . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ $P_{1}-P_{2}$ $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$
Jestliže , pak je projektor na podprostor . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ $P$ $M_{1}\cap M_{2}$

Příklady

Ortogonální průmět (viz dále ) bodů v prostoru do roviny je dán maticí $(x,y,z)$ $R^{3}$ $Oxy$

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Působí v bodech takto:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

Nejjednodušší neortogonální projektor provádí šikmé promítání bodů roviny na přímku . Je to dáno maticí:

P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.

Je snadné ukázat, že se skutečně jedná o projektor:

P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0 \\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.

Projekce daná pomocí je ortogonální právě tehdy, když . $P$ $\alpha=0$

Ortoprojektor

Pokud je prostorem Hilbert , to znamená, že má vnitřní součin (a tedy koncept ortogonality ), pak můžeme zavést koncept ortogonálního projektoru. $X$

Ortogonální projektor je speciální případ projektoru, kdy výše uvedené podprostory a jsou navzájem ortogonální, jinými slovy, když , nebo , nebo . V tomto případě je projekce prvku prvkem prostoru, který je mu nejblíže . $U$ $PROTI$ $\forall u\in U,\forall v\in V$ $(u,v)=0$ $u\cdot v=0$ $u\perp v=0$ $x\in X$ $U$

Literatura

Trenogin V.A. Funkční analýza. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Halmos P. Konecnorozměrné vektorové prostory = Konecnorozměrné vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 s.