Kanonický převod

V Hamiltonian mechanice , kanonická transformace (také transformace kontaktu ) je transformace kanonických proměnných, která nemění obecný tvar Hamiltonian rovnic pro nějaký Hamiltonian. Kanonické transformace mohou být také zavedeny v kvantovém případě, protože nemění formu Heisenbergových rovnic . Umožňují redukovat problém s určitým hamiltoniánem na problém s jednodušším hamiltoniánem v klasickém i kvantovém případě. Kanonické transformace tvoří skupinu .

Definice

Proměny

Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),

P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),

j=1,\ldots ,s,

, kde je počet stupňů volnosti ,

s

{\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_ {s};q_{1},\ldots ,q_{s})}}\neq 0,

se říká, že jsou kanonické , pokud tato transformace překládá hamiltonovské rovnice hamiltonovskou funkcí : $H$

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},

{\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},

do Hamiltonových rovnic s Hamiltonovou funkcí : ${\mathcal {H}}$

{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},

{\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.

Proměnné a se nazývají nové souřadnice a hybnosti, zatímco a se nazývají staré souřadnice a hybnost. $Qi}$ $P_{i}$ $Qi}$ $p_{i}$

Generování funkcí

Z invariance Poincarého-Cartanova integrálu a Lee Hua-chungovy věty o jeho jedinečnosti lze získat:

\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^ {s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,

kde konstanta se nazývá valence kanonické transformace, je totální diferenciál nějaké funkce (předpokládá se, že a jsou také vyjádřeny v termínech starých proměnných). Říká se tomu generující funkce kanonické transformace. Kanonické transformace jsou určovány generující funkcí a valenci jedna ku jedné. $c\neq 0$ $dF$ $F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)$ $P_{i}$ $Qi}$

Kanonické transformace, pro které se nazývají univalentní . Vzhledem k tomu, že různé pro danou generující funkci mění výrazy pro nové souřadnice přes staré a také pro hamiltonián pouze konstantou, jsou často uvažovány pouze univalentní kanonické transformace. $c=1$ $C$

Generující funkce může být často vyjádřena nikoli pomocí starých souřadnic a momentů, ale pomocí libovolných dvou ze čtyř proměnných a výběr je pro každou z nich nezávislý . Ukázalo se, že je vhodné to vyjádřit tak, že pro každou je proměnná nová a druhá stará. Existuje lemma, které říká, že to lze udělat vždy. Diferenciál funkce má explicitní formu totálního diferenciálu, když je vyjádřen v podmínkách starých a nových souřadnic . Při použití jiných dvojic souřadnic je vhodné přejít na funkce, jejichž diferenciál bude mít explicitní tvar celkového diferenciálu pro odpovídající proměnné. Chcete-li to provést, musíte provést Legendre transformace původní funkce . Výsledné funkce se nazývají generující funkce kanonické transformace v odpovídajících souřadnicích. V případě, že je volba souřadnic pro všechny stejná , existují čtyři možnosti výběru proměnných, odpovídající funkce jsou obvykle označeny čísly: ${\displaystyle p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i))$ $i=1,\cdots ,s$ $i$ $F$ $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$ $F$ $i$

F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}( p,P,t),

kde jsou pro jednoduchost zavedeny vektory starých souřadnic a hybností , , a podobně pro nové souřadnice a momenty. Takové generující funkce se označují jako generující funkce 1., 2., 3. nebo 4. typu. $q=(q_{1},\cdots ,q_{2})$ $p=(p_{1},\cdots ,p_{2})$

Generující funkce 1. typu

Nechť je libovolná nedegenerovaná funkce starých souřadnic, nových souřadnic a času: $F_{1}(q,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,

navíc je dáno určité číslo , pak dvojice definuje kanonickou transformaci podle pravidla $c\neq 0$ $(F_{1},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q)),

P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.

Spojení s původní generující funkcí:

F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).

Kanonickou transformaci lze získat pomocí funkce, jako je tato, pokud je jakobián nenulový :

\det \left({\frac {\částečné Q}{\částečné p))\vpravo)\neq 0.

Kanonické transformace doplněné touto podmínkou se nazývají volné .

Generující funkce 2. typu

Nechť je libovolná nedegenerovaná funkce starých souřadnic, nových impulsů a času: $F_{2}(q,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.

navíc je dáno určité číslo , pak dvojice definuje kanonickou transformaci podle pravidla $c\neq 0$ $(F_{2},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q)),

Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.

Spojení s původní generující funkcí:

F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).

Kanonickou transformaci lze získat pomocí funkce, jako je tato, pokud je jakobián nenulový :

\det \left({\frac {\částečné P}{\částečné p))\vpravo)\neq 0.

Generující funkce 3. typu

Nechť je libovolná nedegenerovaná funkce starých momentů, nových souřadnic a času: $F_{3}(p,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.

navíc je dáno určité číslo , pak dvojice definuje kanonickou transformaci podle pravidla $c\neq 0$ $(F_{3},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p)),

P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.

Spojení s původní generující funkcí:

F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).

Kanonickou transformaci lze získat pomocí funkce, jako je tato, pokud je jakobián nenulový :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial q))\right)\neq 0.

Generující funkce 4. typu

Nechť je libovolná nedegenerovaná funkce starých impulsů, nových impulsů a času: $F_{4}(p,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.

navíc je dáno určité číslo , pak dvojice definuje kanonickou transformaci podle pravidla $c\neq 0$ $(F_{4},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p)),

Q={\frac {\partial F_{4)){\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.

Spojení s původní generující funkcí:

F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p ,P,t).

Kanonickou transformaci lze získat pomocí funkce, jako je tato, pokud je jakobián nenulový :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.

Příklady

1. Transformace identity

Q=q,

P=p,

{\mathcal {H}}=H

lze získat z:

F_{2}=qP,\quad c=1.

2. Pokud nastavíte

F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,

pak výsledná transformace bude vypadat takto:

Q=\alpha p,

P=\beta q.

{\mathcal {H}}=-\alpha \beta H

Rozdělení kanonických proměnných na souřadnice a momenty je tedy z matematického hlediska podmíněné.

3. Transformujte inverzi

Q=-q,

P=-p,

{\mathcal {H}}=H

lze získat z:

F_{2}=-qP,\quad c=1.

4. Bodové transformace (transformace, ve kterých jsou nové souřadnice vyjádřeny pouze starými souřadnicemi a časem, ale ne starými impulsy.)

Vždy je lze nastavit pomocí:

F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,

pak

Q=\varphi(q,t).

Zejména pokud

F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,

kde je ortogonální matice : $A,$

A^{T}A=E,

pak

Q=Aq,

P=A^{T}str.

Funkce také vede k bodovým transformacím:

F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,

pak

q=-\phi (Q,t).

Zejména funkce

F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,

nastavuje přechod z kartézských do válcových souřadnic .

5. Lineární transformace systémových proměnných s jedním stupněm volnosti: $(p,q)$

Q=\alpha q+\beta p

P=\gamma q+\delta p

je univalentní kanonická transformace pro

\alpha \delta -\beta \gamma =1,

generující funkce:

F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2 }.

Takové transformace tvoří zvláštní lineární grupu . $SL(2,\mathbb {R} )$

Akce jako generující funkce

Akce vyjádřená jako funkce souřadnic a hybnosti koncového bodu

{\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt

definuje kanonickou transformaci Hamiltonovského systému.

Závorky Poisson a Lagrange

Nezbytnou a postačující podmínkou pro to, aby transformace byly kanonické, lze zapsat pomocí Poissonových závorek :

\lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.

Nezbytnou a postačující podmínkou pro kanonickost transformace je navíc splnění libovolných funkcí a podmínek: $f(Q,P,t)$ $g(Q,P,t)$

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},

kde a jsou Poissonovy závorky ve starých a nových souřadnicích. ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq))$ ${\displaystyle \lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ))$

V případě univalentních kanonických transformací:

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}

a o Poissonových závorkách se říká, že jsou při takových transformacích invariantní. Někdy jsou kanonické transformace definovány tímto způsobem (v tomto případě jsou pouze univalentní transformace považovány za kanonické transformace).

Podobně nutnou a postačující podmínku pro kanonikitu transformací lze zapsat pomocí Lagrangeových závorek :

[p_{i},p_{k}]=0,

[q_{i},q_{k}]=0,

[q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.

Literatura

Arnold VI . Matematické metody klasické mechaniky. - 5. vyd., stereotypní. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 s. - 1500 výtisků. — ISBN 5-354-00341-5 .
Kniha v elektronické knihovně Mekhmat Moskevské státní univerzity
Landau L. D., Lifshitz EM §46. Kanonické transformace. Kapitola VII. Kanonické rovnice. // Mechanika. - 5. vyd., stereotypní. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 224 s. - 3000 výtisků. - ISBN 5-9221-0055-6 . Kniha v elektronické knihovně Mekhmat Moskevské státní univerzity
Gantmakher F. R. Přednášky o analytické mechanice. 3. vyd. - M. : Fizmatlit, 2005. - 264 s. — ISBN 5-9221-0067-X . .
Olkhovsky II Kurz teoretické mechaniky pro fyziky. 4. vyd. - Petrohrad. : Lan, 2009. - 576 s. - ISBN 978-5-8114-0857-3 . .