Poissonův proces

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. listopadu 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Poissonův proces , Poissonův tok , Poissonův proces [1] je obyčejný tok homogenních dějů , u kterého počet událostí v intervalu A nezávisí na počtu událostí v žádných intervalech, které se neprotínají s A , a řídí se Poissonova distribuce . V teorii náhodných procesů popisuje počet náhodných událostí, ke kterým došlo a které se vyskytují s konstantní intenzitou.

Pravděpodobnostní vlastnosti Poissonova proudění jsou zcela charakterizovány funkcí Λ(A) rovnající se přírůstku v intervalu A některé klesající funkce. Nejčastěji má Poissonovo proudění okamžitou hodnotu parametru λ(t) , což je funkce v bodech spojitosti, jejíž pravděpodobnost proudění v intervalu [t,t+dt] je rovna λ( t)dt . Pokud A je segment [a,b] , pak

\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt

Poissonovo proudění, pro které je λ(t) rovno konstantě λ , se nazývá nejjednodušší proudění s parametrem λ . [2]

Poissonovy toky jsou definovány pro vícerozměrný a obecně jakýkoli abstraktní prostor, do kterého lze zavést míru Λ(A) . Stacionární Poissonovo proudění ve vícerozměrném prostoru je charakterizováno prostorovou hustotou λ . V tomto případě se Λ(A) rovná objemu oblasti A násobenému λ .

Klasifikace

Existují dva typy Poissonových procesů: jednoduchý (nebo jednoduše: Poissonův proces) a komplexní (zobecněný).

Jednoduchý Poissonův proces

Nechte _ Náhodný proces se nazývá homogenní Poissonův proces s intenzitou if $\lambda>0$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\lambda$

$X_{0}=0$ téměř jisté .
$\{X_{t}\}$ je proces s nezávislými přírůstky .
$X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (ts))$ for any , kde označuje Poissonovo rozdělení s parametrem . $0\leq s<t<\infty$ $\mathrm {P} (\lambda(ts))$ $\lambda (ts)$

Komplexní (zobecněný) Poissonův proces

Dovolit být posloupnost vzájemně nezávislých shodně distribuovaných náhodných proměnných . $\xi _{1},...,\xi _{n}$
Nechť je jednoduchý Poissonův proces s intenzitou , nezávislou na sekvenci . $N(t)$ $\lambda$ $\xi _{1},...,\xi _{n}$

Označme součtem prvních k prvků zavedené posloupnosti. $S_{k}$

Pak definujeme komplexní Poissonův proces jako . $\{Y_{t}\}$ $S_{N(t)}$

Vlastnosti

Časy mezi časy skoků jsou nezávislé a mají exponenciální rozdělení ${\text{Exp}}(\lambda )$ .
Poissonův proces přijímá pouze nezáporné celočíselné hodnoty a navíc

\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0, 1,2,\ldots

to znamená, že okamžik tého skoku má gama rozložení . $k$ ${\text{Γ}}(\lambda ,k)$

Trajektorie Poissonova procesu jsou po částech konstantní, vpravo spojité, neklesající funkce se skoky rovnými jedné téměř jistě. Přesněji

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)

v ,

h\na 0

kde znamená " o malém ". $Ach)$

Kritéria

K tomu, aby nějaký náhodný proces se spojitým časem byl Poissonův (jednoduchý, homogenní) nebo shodně nulový, stačí, aby byly splněny následující podmínky: $\{X_{t}\}$

$X_{0}=0$ .
Proces má nezávislé přírůstky.
Proces je jednotný.
Proces přijímá nezáporné celočíselné hodnoty.
$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ v . $h\searrow 0$

Informační vlastnosti [3]

Nechť jsou časy skoků Poissonova procesu. . $\tau _{1},\tečky ,\tau _{n}$ $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$

Závisí to na předchozí části trajektorie? - ? $T$
$\mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})$

Nechte _ $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)))={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)))$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\Šipka doleva doprava u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Rozložení délek časových intervalů mezi skoky má vlastnost nedostatku paměti ⇔ je exponenciální .

Zvažte segment na časové ose. $[a,b]$

$X(b)-X(a)=n$ je počet skoků na segmentu . Podmíněné rozložení momentů skoků se shoduje s rozložením variační řady sestavené ze vzorku délky z . $[a,b]$
$\tau _{1},\tečky ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$ $n$ $R[a,b]$

Hustota tohoto rozdělení $f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(ba)^{n}}}\mathbb {I} (a \leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Centrální limitní věta

Teorém.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \ infty }{\overset {x}{\rightrightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\ infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Míra konvergence : , kde je Berry-Esseenova konstanta .
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\ biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0)){\sqrt {\lambda t))}$
$C_{0}$

Aplikace

Poissonův tok se používá k simulaci různých skutečných toků: nehod, toku nabitých částic z vesmíru, poruch zařízení a dalších. Může být také použit k analýze finančních mechanismů, jako je tok plateb a další reálné toky. Sestavit modely různých servisních systémů a analyzovat jejich vhodnost.

Použití Poissonových proudů výrazně zjednodušuje řešení problémů frontových systémů souvisejících s výpočtem jejich účinnosti. Ale nepřiměřené nahrazení skutečného toku Poissonovým tokem, kde je to nepřijatelné, vede k hrubým chybným výpočtům.

Literatura

Gardiner KV Stochastické metody v přírodních vědách. — M .: Mir, 1986. — 528 s.
van Kampen NG Stochastické procesy ve fyzice a chemii. - M . : Vyšší škola, 1990. - 376 s.
Kingman J. Poisson procesy. - M. : MTSNMO, 2007. - 136 s.

Poznámky

↑ " Matematická encyklopedie " / hlavní redaktor I. M. Vinogradov. - M. : "Sovětská encyklopedie", 1979. - T. 4. - 1104 s. - 148 800 výtisků.
↑ Slovník kybernetiky / Edited by akademik V. S. Mikhalevich . - 2. - Kyjev: Hlavní vydání Ukrajinské sovětské encyklopedie pojmenované po M.P. Bazhanovi, 1989. - S. 534. - 751 s. - (C48). — 50 000 výtisků. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Šestakov Oleg Vladimirovič. Poznámky k přednášce k předmětu "Pravděpodobnostní modely", 7. přednáška . (Ruština)