Skokový transport s variabilní délkou skoku

Přeskakování s proměnnou délkou přeskakování je model používaný k popisu transportu nosiče v neuspořádaném polovodičovém nebo amorfním pevném materiálu přeskakováním v rozšířeném teplotním rozsahu [1] . Vodivost má charakteristickou teplotní závislost:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{\beta }}~,

kde:

\beta

je parametr závislý na uvažovaném modelu.

Model Mott

V Mottově modelu jsou uvažovány skoky s proměnnou délkou. Tento model popisuje nízkoteplotní vodivost ve vysoce neuspořádaných systémech s lokalizovanými stavy nosičů náboje [2] a má charakteristickou teplotní závislost:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/4}}

pro vodivost trojrozměrného vzorku (c = 1/4) a je zobecněna na -rozměrný problém: $\beta$ $d$

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/(d+1)))~.

Přeskakování vedení při nízkých teplotách je velmi zajímavé kvůli úsporám, kterých by mohl dosáhnout polovodičový průmysl, kdyby mohl nahradit monokrystalová zařízení amorfními materiály [3] .

Závěr

Mottův původní článek zavádí zjednodušující předpoklad, že energie skoku je nepřímo úměrná třetí mocnině vzdálenosti skoku (v 3D případě). Později se ukázalo, že tento předpoklad není nutný [4] . V původním článku bylo ukázáno, že pravděpodobnost přeskakování mezi lokalizovanými stavy při dané teplotě závisí na dvou parametrech: - vzdálenosti mezi uzly a - jejich rozdílu mezi energiemi těchto stavů. Apsley a Hughes poznamenali, že ve skutečně amorfním systému jsou tyto proměnné náhodné a nezávislé a lze je tedy kombinovat do jediného parametru, rozmezí mezi dvěma uzly, který určuje pravděpodobnost skoku. $R$ $W$ $\textstyle {\mathcal {R}}$

Mott ukázal, že pravděpodobnost skoku mezi dvěma stavy na vzdálenost a energetický rozdíl je: $\textstyle R$ $W$

P\sim \exp \left[-2\alpha R-{\frac {W}{kT}}\right]~,

kde:

\alpha^{-1}

je délka rozpadu pro vodíkovou lokalizovanou vlnovou funkci.

Předpokládá se, že přechod do vyššího energetického stavu je proces, který omezuje frekvenci skoků. Nyní definujme rozsah mezi dvěma stavy, takže . Stavy mohou být viděny jako body ve čtyřrozměrném náhodném poli (tři prostorové souřadnice a jedna energetická souřadnice), přičemž „vzdálenost“ mezi nimi je určena rozsahem . $\textstyle {\mathcal {R}}=2\alpha R+W/kT$ $\textstyle P\sim \exp(-{\mathcal {R)))$ $\textstyle {\mathcal {R}}$

Vodivost je výsledkem mnoha sérií skoků přes toto čtyřrozměrné pole, a protože je upřednostňováno přeskakování na krátkou vzdálenost, je to průměrná „vzdálenost“ mezi nejbližšími sousedy mezi státy, která určuje celkovou vodivost. Vodivost má tedy tvar:

\sigma \sim \exp(-{\overline {\mathcal {R))}_{nn})~,

kde:

\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}

je průměrný dosah nejbližších sousedů.

Proto je problém tuto hodnotu vypočítat. Prvním krokem je získat , celkový počet stavů v rozsahu nějakého počátečního stavu na Fermiho úrovni. Pro -rozměry a za určitých předpokladů to vypadá takto: $\textstyle {\mathcal {N}} ({\mathcal {R}})$ $\textstyle {\mathcal {R}}$ $d$

{\mathcal {N}} ({\mathcal {R}})=K{\mathcal {R}}^{d+1}~,

kde:

\textstyle K={\frac {N\pi kT}{3\times 2^{d}\alpha ^{d))}~.

Specifické předpoklady jsou, že je mnohem menší než zakázaný pás a větší než meziatomová vzdálenost. $\textstyle {\overline {\mathcal {R}}}_{nn}$

Pak pravděpodobnost, že stav s rozsahem je nejbližším sousedem ve čtyřrozměrném prostoru (nebo v obecném ( )-rozměrném prostoru): $\textstyle {\mathcal {R}}$ $d+1$

P_{nn}({\mathcal {R}})={\frac {\partial {\mathcal {N}}({\mathcal {R}})}{\partial {\mathcal {R}} }}\exp[-{\mathcal {N}}({\mathcal {R}})]

je distribuce nejbližších sousedů.

Pro -rozměrný případ pak: $d$

{\overline {\mathcal {R}}}_{nn}=\int _{0}^{\infty }(d+1)K{\mathcal {R}}^{d+1}\ exp(-K{\mathcal {R}}^{d+1})d{\mathcal {R}}~.

Tento integrál lze vyhodnotit jednoduchou změnou funkce gama , $\textstyle t=K{\mathcal {R}}^{d+1}$ $\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t$

Po nějaké algebře to dává:

{\overline {\mathcal {R))}_{nn}={\frac {\Gamma ({\frac {d+2}{d+1)))}{K^{\frac {1 }{d+1}}}}}

a proto:

\sigma \propto \exp \left(-T^{-{\frac {1}{d+1))}\right)~.

Nekonstantní hustota stavů

Když je hustota stavů nekonstantní (zákon liché mocniny N(E)), Mottova vodivost se obnoví, jak je ukázáno v tomto článku .

Efros-Shklovsky skoky s proměnnou délkou

Efros–Shklovsky (ES) skákání s proměnnou délkou je vodivostní model, který bere v úvahu Coulombovu mezeru , malý skok v hustotě stavů blízko Fermiho hladiny v důsledku interakcí mezi lokalizovanými elektrony. [5] Byl pojmenován po Alexeji L. Efrosovi a Borisi Shklovském , kteří jej navrhli v roce 1975.

Zohlednění Coulombovy mezery změní teplotní závislost na:

\sigma =\sigma _{0}e^{-(T_{0}/T)^{1/2))

pro všechny rozměry (tj. = 1/2). [6] [7] $\beta$

Poznámky

↑ Hill, R. M. (1976-04-16). Přeskakování s proměnným rozsahem. Physica Status Solidi A ]. 34 (2): 601-613. DOI : 10.1002/pssa.2210340223 . ISSN 0031-8965 .
↑ Mott, N. F. (1969). „Vedení v nekrystalických materiálech“. Filosofický časopis . Informa UK Limited. 19 (160): 835-852. DOI : 10.1080/14786436908216338 . ISSN 0031-8086 .
↑ PVE McClintock, DJ Meredith, JK Wigmore. Hmota při nízkých teplotách . černoch. 1984 ISBN 0-216-91594-5 .
↑ Apsley, N. (1974). „Závislost na teplotě a poli skokového vedení v neuspořádaných systémech“. Filosofický časopis . Informa UK Limited. 30 (5): 963-972. DOI : 10.1080/14786437408207250 . ISSN 0031-8086 .
↑ Efros, AL (1975). "Coulombova mezera a vodivost neuspořádaných systémů při nízké teplotě" . Journal of Physics C : Solid State Physics ]. 8 (4): L49. DOI : 10.1088/0022-3719/8/4/003 . ISSN 0022-3719 .
↑ Li, Zhaoguo (2017). „Přechod mezi Efros–Shklovskii a Mott proměnným rozsahem přeskakování v tenkých filmech polykrystalického germania“. Polovodičová věda a technologie . 32 (3): 035010. doi : 10.1088 /1361-6641/aa5390 .
↑ Rosenbaum, Ralph (1991). „Přechod od Mott k Efros-Shklovskii s proměnným rozsahem skokové vodivosti ve filmech InxOy“. Fyzický přehled B. 44 (8): 3599-3603. DOI : 10.1103/physrevb.44.3599 . ISSN 0163-1829 .