Pseudoinverzní matice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. července 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Pseudoinverzní matice je zobecněním konceptu inverzní matice v lineární algebře . Pseudoinverzní matice je označena . $A$ $A^+$

Koncept pseudoinverzních integrujících operátorů byl poprvé představen v roce 1903 Fredholmem . Nejznámější je Mooreova-Penrosova pseudokonverze, kterou nezávisle popsali Eliakim Moore [1] v roce 1920 a Roger Penrose [2] v roce 1955 ; tvrzení, že pseudoinverzní matice existuje a je jedinečná pro jakoukoli matici přes reálná a komplexní čísla, se nazývá Moore-Penroseova věta .

Zobecněná inverze jepseudoinverze, která splňuje přísnější podmínky . Pseudoinverzi lze chápat jako řešení úlohy nejlepší aproximace (metodou nejmenších čtverců s omezující variantou regularizace ) pro odpovídající soustavu lineárních rovnic . Pseudoinverzní matici lze vypočítat pomocí singulárního rozkladu matice.

Definice

$A^+$ se nazývá pseudoinverzní matice pro matici , pokud splňuje následující kritéria: $A$

$AA^+A = A$ ;
$A^+AA^+ = A^+$ ( je slabá inverze v multiplikativní pologrupě); $A^+$
$(AA^+)^* = AA^+$ (to znamená, že je to hermitovská matice ); $AA^+$
$(A^+A)^* = A^+A$ ( je také hermitovská matice). $A^+A$

Zde je hermitovská konjugovaná matice M (pro matice nad polem reálných čísel ). $M^*$ $M^* = M^T$

Existuje ekvivalentní způsob, jak specifikovat pseudoinverzní matici z hlediska limity inverzí ( Tikhonovova regularizace ):

A^+ = \lim_{\delta \to +0} (A^* A + \delta I)^{-1} A^* = \lim_{\delta \to +0} A^* (AA^* + \delta I)^{-1}

kde je matice identity. Tento limit existuje, i když není definován. $já$ $(AA^*)^{-1}$ $(A^* A)^{-1}$

Vlastnosti

Pseudo -inverze je involutivní (to znamená, že tato operace je inverzní sama k sobě): $(A^+)^+ = A$ .
Pseudoinverze komutuje s transpozicí, konjugací a hermitovskou konjugací : $(A^T)^+ = (A^+)^T$ , , .
$(\overline{A})^+ = \overline{A^+}$
$(A^*)^+ = (A^+)^*$
Pseudoinverzní součin matice a skaláru se rovná odpovídajícímu součinu matice a její reciproké hodnotě : $A$ $\alpha$ $A^+$ $\alpha^{-1}$ $(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+$ , pro . $\alpha \neq 0$
Pokud je pseudoinverzní matice for již známa, lze ji použít k výpočtu : $A^*A$ $A^+$ $A^+ = (A^*A)^+A^*$ .
Podobně, pokud je matice již známá: $(AA^*)^+$ $A^+ = A^*(AA^*)^+$ .

Zvláštní příležitosti

Pokud jsou sloupce matice lineárně závislé , pak je matice invertibilní. V tomto případě je pseudoinverzní matice dána vzorcem: $A$ $A^* A$

A^+ = (A^* A)^{-1} A^*

Pokud jsou sloupce lineárně nezávislé (což platí pro čtvercové nesingulární matice), pak je pseudoinverze stejná jako inverze:

A^+ = A^{-1}

Pokud a jsou takové, že produkt je definován a: $A$ $B$ $AB$

buď _ $A^* A = I$
buď _ $BB^* = I$
buď jsou sloupce lineárně nezávislé a řádky jsou lineárně nezávislé, $A$ $B$

pak

(AB)^+ = B^+ A^+

Pseudo-reverze lze aplikovat jak na skaláry, tak na vektory. To znamená, že se s nimi zachází jako s maticemi příslušné dimenze. Pseudoinverzní ke skaláru je nula, pokud je nula, a inverzní k jinému: $X$ $X$ $X$

x^+ = \left\{\begin{matice} 0, & x=0; \\ x^{-1}, & x \ne 0. \end{matrix}\vpravo.

Pseudoinverzní pro nulový vektor je transponovaný nulový vektor. Pseudoinverzní pro nenulový vektor je konjugovaný transponovaný vektor dělený druhou mocninou jeho délky:

x^+ = \left\{\begin{matice} 0^T, & x = 0; \\ {x^* \over x^* x}, & x \ne 0. \end{matrix}\vpravo.

Abychom to dokázali, stačí ověřit, že tyto veličiny splňují definici pseudoinverzí.

Původ

Pokud existuje, pak z rovnosti: $(A^* A)^{-1}$

ax = b,

by měl

A^* A x = A^* b,

(A^* A)^{-1}(A^* A) x = (A^* A)^{-1}A^* b,

x = (A^* A)^{-1}A^* b,

což dává vzniknout konceptu pseudozvratu

A^+ = (A^* A)^{-1}A^*

Výpočet

Dovolit být hodnost matice velikosti . Potom může být reprezentován jako , kde B je velikostní matice s lineárně nezávislými sloupci a je velikostní matice s lineárně nezávislými řádky. Pak: $k$ $A$ $m\krát n$ $A$ $A=BC$ $m \čas k$ $C$ $k \krát n$

A^+ = C^*(CC^*)^{-1}(B^*B)^{-1}B^*

Pokud má řádkovou hodnost, to znamená , pak lze zvolit matici identity a vzorec je redukován na . Podobně, pokud má hodnost v celém sloupci, tedy , pak . $A$ $k = m$ $B$ $A^+ = A^*(AA^*)^{-1}$ $A$ $k = n$ $A^+ = (A^*A)^{-1}A^*$

Nejjednodušší výpočetní způsob, jak získat pseudoinverzní matici, je použití singulárního rozkladu hodnot .

Jestliže je singulární rozklad hodnoty , pak . Pro diagonální matici , jako je , se z ní pseudoinverze získá nahrazením každého nenulového prvku na diagonále jeho inverzní. $A = U\Sigma V^*$ $A$ $A^+ = V\Sigma^+ U^*$ $\Sigma$

Existují optimalizované přístupy pro výpočet pseudoinverze pro blokové matice.

Někdy lze objem výpočtů pro nalezení pseudoinverzní matice snížit, pokud je známa pseudoinverzní matice pro nějakou podobnou matici. Zejména pokud se podobná matice liší od původní o jeden změněný, přidaný nebo odstraněný sloupec nebo řádek, existují akumulační algoritmy, které mohou používat vztah mezi maticemi.

Aplikace

Pseudoinverze úzce souvisí s metodou nejmenších čtverců (LSM) pro soustavu lineárních rovnic [3] .

V této metodě je problém řešení daného systému nahrazen problémem minimalizace druhé mocniny euklidovské normy diskrepance . V praxi se LSM obvykle používá, když je původní systém nekonzistentní, ale níže se budeme zabývat případem, kdy je tento systém kompatibilní. $A x = b$ $\|Sekera – b\|^2$ $A x = b$

Obecné řešení nehomogenního systému lze reprezentovat jako součet konkrétního řešení nehomogenního systému a obecného řešení odpovídajícího homogenního systému . $A x = b$ $A x = 0$

Lemma: Pokud existuje, pak je obecné řešení vždy reprezentovatelné jako součet pseudoinverzního řešení nehomogenního systému a řešení homogenního systému: $(AA^*)^{-1}$ $X$

x=A^{*}(AA^{*})^{-1}b+(IA^{*}(AA^{*})^{-1}A)y.

Důkaz:

$Sekera$	$=$	$AA^(AA^)^{-1}$	$b$	$+$	$A y - AA^(AA^)^{-1} A y$
$Sekera$	$=$		$b$	$+$	$A y - A y$
$Sekera$	$=$		$b$	.

Zde je vektor libovolný (až do rozměru). Další dva členy mají pseudoinverzní matici . Přepsáním do tvaru přeneseme výraz do tvaru: $y$ $A^*(AA^*)^{-1}$ $A^+$

x=A^{+}b+(IA^{+}A)y.

První člen je pseudoinverzní řešení. Z hlediska metody nejmenších čtverců je , což udává minimální euklidovskou normu pro zbytek. Další člen dává řešení homogenního systému , protože je operátor promítání na obraz operátora a je tedy operátor promítání na jádro operátora . $X$ $A x = 0$ $A^{+}A=A^{*}(AA^{*})^{-1}A$ $A^{*}$ $(IA^{+}A)$ $A$

Literatura

↑ E. H. Moore: O reciproké matici obecné algebraické matice. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394-395 (1920) 7.pdf
↑ Roger Penrose: Zobecněná inverze pro matice. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955)
↑ Roger Penrose: O nejlepším přibližném řešení lineárních maticových rovnic. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52, 17-19 (1956)
↑ Albert A.: Regrese, pseudoinverze a rekurzivní odhad. přel. z angličtiny. Moskva, "Nauka", 224 s. (1977)
↑ Beklemishev D.V.: Dodatečné kapitoly lineární algebry. Moskva, věda. (1983)