Nilradikální

Nilradikál komutativního prstence  je ideál sestávající ze všech jeho nilpotentních prvků .

Nilradikál je skutečně ideál, protože součet dvou nilpotentních prvků je nilpotentní (podle Newtonova binomického vzorce ), stejně jako součin nilpotentního a libovolného prvku. Nilový radikál lze také charakterizovat jako průsečík všech primárních ideálů kruhu.

Jestliže  je libovolný komutativní kruh, pak kvocientový kruh svým nilradikálem neobsahuje nilpotentní prvky.

Každý maximální ideál je jednoduchý, takže Jacobsonův radikál  — průnik všech maximálních ideálů — obsahuje nulový radikál. V případě artiniánského prstenu se jednoduše shodují, přičemž nilradikál je popsán jako maximální nilpotentní ideál . Obecně, pokud je nilradikál generován s konečnou platností , pak je nilpotentní.

Nekomutativní zobecnění

V nekomutativním případě existují tři způsoby, jak zobecnit koncept nilradikálu. Nižší nilradikál nekomutativního kruhu je definován jako průsečík všech prvočísel. Horní nilradikál  je jako ideál vytvořený všemi nilpotentními ideály. Levitsky radikál je velikostí mezi nimi a je definován jako maximální lokálně nilpotentní ideál . Pokud je prsten noetherovský , všechny tři definice jsou stejné.

Literatura

• Atiyah M., McDonald I. Úvod do komutativní algebry. - Factorial Press, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
• Eisenbud, David , "Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii", Postgraduální texty z matematiky, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
• Lam, Tsit-Yuen (2001), První kurz nekomutativních prstenů (2. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag, MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0