Řešení Kerr-Newman

Kerr-Newmanovo řešení je přesným řešením Einsteinových rovnic popisujících nerušenou elektricky nabitou rotující černou díru bez kosmologického členu. Astrofyzikální význam řešení je nejasný, protože se předpokládá, že přirozeně se vyskytující kolapsary nemohou být významně elektricky nabity.

Forma řešení a jeho vlastnosti

Tříparametrová Kerr-Newmanova rodina je nejobecnějším řešením odpovídajícím konečnému stavu rovnováhy černé díry nenarušené vnějšími poli (podle teorémů „bez vlasů“ pro známá fyzikální pole ). V Boyer-Lindquistových souřadnicích je Kerr-Newmanova metrika dána vztahem: [1]

ds^{2}=-\left(1-{2\,Pan-Q^{2} \over \Sigma }\right)\,dt^{2}-2(2\,Pan-Q^{2 })a{\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\,dt\,d\varphi \,+

+\left(r^{2}+a^{2}+{(2\,Pan-Q^{2})a^{2}\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\right) \sin ^{2}\theta \,{d\varphi ^{2}}+{\Sigma \over \Delta }\,dr^{2}+{\Sigma \,{d\theta ^{2}} },

kde ; a , kde je moment hybnosti normalizovaný na rychlost světla a je podobně normalizovaný náboj. $\Sigma \equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$ $\Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}$ $a\equiv L/M$ $L$ $Q$

Z tohoto jednoduchého vzorce snadno vyplývá, že horizont událostí se nachází na poloměru: , a proto parametry černé díry nemohou být libovolné: elektrický náboj a moment hybnosti nemohou být větší než hodnoty odpovídající vymizení horizont událostí. Musí být splněna následující omezení: ${\displaystyle r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2))))$

a^{2}+Q^{2}\leqslant M^{2}

je omezení pro Kerr-Newman BH .

Pokud budou tato omezení porušena, horizont událostí zmizí a řešení namísto černé díry bude popisovat takzvanou „holou“ singularitu , ale takové objekty by podle všeobecného přesvědčení neměly ve skutečném vesmíru existovat (podle dosud neprokázaný, ale pravděpodobný princip kosmické cenzury ). Alternativně může existovat zdroj zhroucené hmoty pod horizontem, který uzavírá singularitu, a proto vnější řešení Kerra nebo Kerr-Newman musí být průběžně spojováno s vnitřním řešením Einsteinových rovnic s tenzorem energie-hybnosti této hmoty. . Singularita mizí spolu s omezením parametrů Kerr-Newmanova řešení pro BH.

Ještě v roce 1970 V. Israel zvažoval zdroj Kerr-Newmanova řešení v podobě rotujícího disku, který tento pohyb uzavírá. Tento směr vyvinul C. L`opez, který ukázal, že Kerrova singularita může být uzavřena rotujícím pláštěm (bublinou) a v tomto případě neplatí omezení na parametry Kerr-Newmanova řešení. Navíc, jak poznamenal B. Carter (1968), Kerr-Newmanovo řešení má stejný gyromagnetický poměr jako elektron podle Diracovy rovnice. Historie tohoto směru pro řešení Kerr-Newman je popsána v arXiv:0910.5388[hep-th] .

Kerr-Newmanova metrika (a jen Kerr, ale ne Schwarzschild) může analyticky pokračovat přes horizont takovým způsobem, že spojí nekonečně mnoho „nezávislých“ prostorů v černé díře. Mohou to být jak „jiné“ vesmíry, tak vzdálené části našeho Vesmíru. V takto získaných prostorech jsou uzavřené časové křivky: cestovatel se v zásadě může dostat do své minulosti, tedy setkat se sám se sebou. Existuje také oblast kolem horizontu událostí rotující černé díry zvaná ergosféra , která je prakticky ekvivalentní ergosféře z Kerrova řešení; stacionární pozorovatel tam umístěný se musí otáčet kladnou úhlovou rychlostí (ve směru rotace černé díry).

Kerr-Schildovy souřadnice

Nejjednodušší výraz pro řešení Kerr a Kerr-Newman je převzat ve formě Kerr-Schild (KS) [2] , ve které má metrika tvar

{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2Hk_{\mu }k_{\nu ))

kde je metrika pomocného Minkowského prostoru s kartézskými souřadnicemi . ${\displaystyle \eta _{\mu \nu ))$ $x=x^{\mu }(x)=(t,x,y,z)$

V této podobě je vektorové pole směrů podobných světlu. Často říkají "nulové" směry, protože . Všimněte si, že specifická struktura tvaru metriky KSh zajišťuje, že pole je také nulové vzhledem k pomocnému plochému prostoru, tj . $k^{\mu }(x)$ $k_{\mu }k^{\mu }=g_{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0$ $k^{\mu }(x)$ $\eta _{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0$

Funkce H má tvar

H={\frac {Mr-|Q|^{2}/2}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta )),

kde jsou zploštělé sféroidní Kerrovy souřadnice, které jsou definovány vztahem $r,\theta$

x+iy=(r+ia)e^{i\phi }\sin \theta ,\ z=r\cos \theta .

a jít daleko od černé díry do obvyklých sférických souřadnic. V těchto souřadnicích jsou složky vektoru určeny z diferenciální formy ${\displaystyle k_{\alpha ))$

k_{\alpha }dx^{\alpha }=dr-dt-a\sin ^{2}\theta d\phi

porovnáním koeficientů před diferenciály. Toto je jeden příklad výpočtu pomocí velmi pohodlného aparátu externích formulářů, který použil Kerr k získání řešení v prvním a dalších dokumentech.

Ve skutečnosti je Kerrova úhlová souřadnice velmi neobvyklá a jednoduchá forma KSh je způsobena skutečností, že veškerá složitost řešení je skryta ve formě vektorového pole , což je vírový tok podobný světlu, který se tvoří tzv. Principal Zero Congruence (GNC). V kartézských souřadnicích jsou složky vektorového pole definovány formou $\phi$ $k^{\mu }(x)$ ${\displaystyle k_{\mu ))$

k_{\mu }dx^{\mu }=-dt+{\frac {z}{r}}dz+{\frac {r}{r^{2}+a^{2}}} (xdx +ydy)-{\frac {a}{r^{2}+a^{2}}}(xdy-ydx)

V teorii KSh se pro určení tohoto pole používají také "nulové" (světlé) kartézské souřadnice

$u=(zt)/{\sqrt {2)),\quad v=(z+t)/{\sqrt {2)),\quad \zeta =(x+iy)/{\sqrt { 2)),\quad {\bar {\zeta }}=(x-iy)/{\sqrt {2}}$ ,

ve kterém má kongruence složky určené diferenciální formou

k_{\mu }^{(\pm )}dx^{\mu }=P^{-1}(du+{\bar {Y}}^{\pm }d\zeta +Y^{\ pm }d{\bar {\zeta }}-Y^{\pm }{\bar {Y}}^{(\pm )}dv)

Tento výraz je definován komplexní funkcí , která má dvě řešení , která dává dvě různé kongruence (GNC) pro vektorové pole . Řešení pro rotující BH tedy může být zapsáno ve dvou různých formách, které jsou založeny na kongruenci „dovnitř“ nebo „ven“ z BH, což odpovídá tzv. algebraicky speciálním řešením typu D (podle Petrovovy klasifikace ). $Y(x)$ $Y^{\pm }(x)$ $k^{\mu }(x)$

Zobrazení ve formě KS má řadu výhod, protože kongruence, všechny souřadnice a forma řešení pro elektromagnetické (EM) pole a metriky jsou pevně spojeny se souřadnicemi pomocného plochého prostoru a nejsou závisí na poloze horizontu a hranici ergosféry. Řešení KSh navíc jedinečně pokračují analyticky přes horizont do BH a dále do „záporného“ listu — oblasti záporných hodnot zploštělé radiální souřadnice . $r$

V souřadnicích Kerr má funkce tvar $\theta ,\phi$ $Y(x)$

Y(x)=e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2))

Geometricky se jedná o projekci nebeské sféry se souřadnicemi na komplexní rovinu , nicméně závislost je velmi netriviální a je dána Kerrovou větou , úzce související s twistory . Ve skutečnosti GNC tvoří páteř Kerrova řešení jako smršť twistorových paprsků. Funkce pro řešení v klidu má tvar $\theta ,\phi$ $Y$ $x\to Y(x)$ $P$

$P={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+Y{\bar {Y}})$ .

Stejně jako forma metriky KSh musí být všechny tenzorové charakteristiky řešení konzistentní s vektorovým polem GNK, a zejména vektorový potenciál EM pole Kerr–Newmanova řešení je vyjádřen jako

A^{\mu }=\Re e{\frac {Qr}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }}k^{\mu }

Kerrova singularita je pod obzorem. Souvisí s singularitou funkce H a odpovídá hodnotám a současně . Je to prsten, který otevírá průchod do negativního listu Kerrovy geometrie , na kterém jsou obráceny hodnoty hmotnosti a náboje a také směr polí. (Neplést s maximálním analytickým rozšířením roztoků přes horizont černých děr, popsaným o něco později.) Tento druhý list ("Alice's Looking-Glass") byl dlouho záhadou Kerrova řešení. $r=0$ $\theta =0$ $r<0$

Literatura

C. Mizner, K. Thorne, J. Wheeler. Gravitace. - Mir, 1977. - T. 3. - 512 s.
Subramanyan Chandrasekhar . Matematická teorie černých děr. Ve 2 svazcích = Matematická teorie černých děr / Z angličtiny přeložil Ph.D. n. V. A. Berezina. Ed. d.f.-m. n. D. A. Galtsová. — M .: Mir, 1986.
I. D. Novikov, V. P. Frolov. Fyzika černých děr. — M .: Nauka, 1986. — 328 s.

Poznámky

↑ C. Misner, K. Thorne, J. Wheeler. Gravitace, svazek 3, 1977 , dodatek 33.2. KERR-NEWMAN GEOMETRIE A ELEKTROMAGNETICKÉ POLE, str. 88.
↑ Debney GC, Kerr RP a Schild A. Řešení Einsteinových a Einstein-Maxwellových rovnic // Journal of Mathematical Physics . - 1969. - Sv. 10 . - S. 1842-1854 . - doi : 10.1063/1.1664769 .

Černé díry

Typy

Rozměry

Vzdělání

Vlastnosti

Modelky

teorie

Přesná řešení v obecné teorii relativity

Schwarzschild
Kerra
Reisner-Nordström
Kerr-Newman
Přesné řešení černé díry

související témata

Kategorie:Černé díry