Algebra nad prstenem

Algebra nad prstencem je algebraický systém , který je jak modulem nad tímto prstencem, tak samotným prstencem a tyto dvě struktury jsou vzájemně propojeny. Pojem algebry nad prstencem je zobecněním pojmu algebra nad polem , stejně jako pojem modulu zobecňuje pojem vektorového prostoru .

Definice

Dovolit být libovolný komutativní prsten s identitou. Modul over a ring , ve kterém je pro dané bilineární zobrazení (bilineární ne nad polem, ale nad kruhem ) definován součin podle rovnosti , se nazývá algebra over nebo -algebra . $K$ $A$ $K$ $K$ $f\colon A\times A\rightarrow A$ $ab=f(a,b)$ $K$ $K$

Podle definice platí pro všechny a vztahy: $k,\;l\in K$ $a,\;b,\;c\in A$

$a(b+c)=ab+ac$
$(a+b)c=ac+bc$
$(k+l)a=ka+la$
$k(a+b)=ka+kb$
$k(la)=(kl)a$
$k(ab)=(ka)b=a(kb)$
$1a=a$ , kde je jednotka prstence $jeden$ $K$

Pokud jde o operace sčítání a násobení, algebra je kruh.

Pro , komutátor je definován rovností . -algebra se nazývá komutativní, jestliže . $A$ $b\in A$ $[a,b]=ab-ba$ $K$ $[a,b]=0$

Pro asociátora je definována rovnost . -algebra se nazývá asociativní jestliže . $a,b,c\v A$ $(a,b,c)=(ab)ca(bc)$ $K$ $(a,b,c)=0$

Pokud existuje prvek takový, že pro všechny , pak se nazývá jednotka algebry a samotná algebra se nazývá algebra s jednotkou . $e\in A$ $ea=ae=a$ $v A$ $E$ $A$

Někdy je algebra definována také nad nekomutativními kruhy, v tomto případě je místo podmínky vyžadována slabší podmínka: . $k(ab)=(ka)b=a(kb)$ $k(ab)=(ka)b$

Jakýkoli kruh lze považovat za algebru nad kruhem celých čísel , pokud rozumíme součinu (kde je celé číslo) obvykle, tedy jako součet kopií . Proto lze kruhy považovat za speciální případ algeber. $na$ $n$ $n$ $A$

Pokud místo bilineárního zobrazení zvolíme multilineární zobrazení a definujeme součin podle pravidla: , pak se výsledná algebraická struktura nazývá -algebra. $F$ $g:A^{n}\rightarrow A$ $a_{1}\tečky a_{n}=g(a_{1},\tečky ,a_{n})$ $n$

Volná algebra

Jestliže algebra přes komutativní prsten je volný modul , pak to je voláno volná algebra a má základ přes prsten . Jestliže algebra má konečný základ, pak algebra je řekl, aby byl konečně-rozměrný. $A$ $K$ $K$ $A$ $A$

Jestliže je pole , pak podle definice je -algebra vektorovým prostorem nad , a proto má základ . $K$ $K$ $K$

Základ konečně-dimenzionální algebry je obvykle označován . Pokud má algebra jednotku , pak je obvykle jednotka zahrnuta do základu a předpokládá se, že je . Pokud má algebra konečný základ, pak lze součin v algebře snadno obnovit na základě multiplikačních tabulek: $e_{1},\tečky ,e_{n}$ $E$ $e_{0}=e$

e_{i}e_{j}=C_{{ij}}^{k}e_{k}

Konkrétně, pokud , , pak může být produkt reprezentován jako: $a=a^{k}e_{k}$ $b=b^{k}e_{k}$

ab=C_{{ij}}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}

Veličiny se nazývají strukturní konstanty algebry . $C_{{ij}}^{k}\in K$ $A$

Pokud je algebra komutativní, pak:

C_{{ij}}^{k}=C_{{ji}}^{k}

Pokud je algebra asociativní, pak:

C_{{ij}}^{k}C_{{ml}}^{j}=C_{{im}}^{j}C_{{jl}}^{k}

Vlastnosti

Z algebry polynomů (v dostatečně velkém počtu proměnných) přes pole , jako homomorfní obraz, lze získat libovolnou asociativně-komutativní algebru přes . $K$ $K$

Mapovací algebra

Je možné považovat algebru přes komutativní prsten za modul přes komutativní prsten . Zobrazení z algebry přes komutativní kruh do algebry přes kruh se považuje za lineární, pokud: $A$ $K$ $A$ $K$ $f:A\šipka doprava B$ $A$ $K$ $B$ $K$

f(a+b)=f(a)+f(b)

f(ka)=kf(a)

pro jakékoli , , . Množina lineárních zobrazení z algebry do algebry je označena symbolem . $A$ $b\in A$ $k\in K$ $A$ $B$ ${\mathcal L}(A;B)$

Lineární zobrazení algebry do algebry se nazývá homomorfismus if for any a podmínka je také splněna: pokud algebry a mají jednotku, pak: $f:A\šipka doprava B$ $A$ $B$ $f(ab)=f(a)f(b)$ $a,b\v A$ $A$ $B$

f(e_{A})=e_{B}

Množina homomorfismů algebry do algebry je označena symbolem . $A$ $B$ $H(A;B)$

Je zřejmé, že . $H(A;B)\subseteq {\mathcal L}(A;B)$

Příklady

Všeobecné:

algebry čtvercové matice
polynomiální algebry
algebra formálních mocninných řad

Algebry v oboru reálných čísel :

Literatura

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitola III. Kruhy a moduly // Obecná algebra / Ed. vyd. L. A. Skornyaková . - M .: Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Referenční matematická knihovna). — 30 000 výtisků. — ISBN 5-02-014426-6 .

Algebra nad prstenem
Dimenze – mocnina 2	Komplexní čísla (velikost 2) $\mathbb {C}$ Čtveřice (velikost 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers / Octonions / Oktávy (velikost 8) $\mathbb O$ Sedenions (velikost 16) $\mathbb S$
viz také	Frobeniova věta Hyperkomplexní číslo Algebra Tělo pomyslná jednotka