Konektivita (diferenciální geometrie)

Spojení je struktura na hladkém svazku spočívající ve volbě "horizontálního směru" v každém bodě prostoru svazku.

Přesněji: Nechť je dán hladký svazek , spojení je dílčí svazek tečného svazku přes , takže pro každý bod je projekce $\pi :E\to B$ $R$ $TE$ $E$ $x\v E$

d_{x}\pi (R_{x})=T_{{\pi (x)))B

zde označuje diferenciál v bodě . $d_{x}\pi$ $\pi$ $X$

Spojení umožňuje rozlišit úseky svazku podél směru.

Konektivita umožňuje definovat paralelní řez podél křivky v základně svazku. Spojení zejména umožňuje zkonstruovat kanonickou trivializaci svazku přes křivku (nemá žádné vlastní průniky), ale je možné zkonstruovat kanonickou trivializaci pro svazek nad manifoldem v nějakém sousedství tehdy a pouze tehdy , když tam zaniká tenzor křivosti daného spojení . Ve fyzickém jazyce, z hlediska časoprostoru, to říká, že je možné zavést lokálně Lorentzovu vztažnou soustavu podél libovolné neprotínající se křivky, ale ne v okolí bodu, pokud tenzor zakřivení tohoto okolí je nenulová.

Název spojení pochází ze skutečnosti, že spojuje tečné prostory v různých bodech manifoldu. Je to spojení, které organizuje strukturu tečného svazku . Jednoduše řečeno, konektivita umožňuje přenášet geometrické objekty z jednoho bodu rozdělovače do druhého a je nezbytná pro porovnávání objektů v různých bodech rozdělovače.

Typy připojení

Afinní spojení je lineární spojení na tečném svazku rozdělovače.

Spojení Levi-Civita je afinní spojení s nulovou torzí na Riemannově (nebo pseudoRiemannově ) varietě , vůči níž je metrický tenzor kovariančně konstantní. $M$