Malmquistův posun

Malmquistův posun ( Malmquist shift ) je efekt v pozorovací astronomii, který má za následek přednostní detekci objektů s vysokou svítivostí. Tento efekt byl poprvé popsán v roce 1922 švédským astronomem Gunnarem Malmqvistem (1893-1982), který tento jev v roce 1925 podrobně studoval. [1] [2] Ve statistice je toto zkreslení systematickou chybou a ovlivňuje výsledky průzkumů ve vzorcích omezených zdánlivou velikostí, které nezahrnují hvězdy, jejichž zdánlivá hvězdná velikost přesahuje určitou hodnotu. Vzhledem k tomu, že pozorované hvězdy a galaxie vypadají slabší ve větší vzdálenosti od pozorovatele, zdánlivá velikost se bude se vzdáleností zvětšovat, dokud nepřekročí limitní hodnotu pro tento průzkum. Objekty s vyšší svítivostí lze pozorovat z větší vzdálenosti, což může vytvářet falešný vztah, který zvyšuje jas se vzdáleností. Metoda správného zohlednění takového účinku vyžadovala zvláštní pozornost vědců.

Teorie přemístění

Zdánlivá velikost a lesk

Je známo, že jak se zdroj vzdaluje od pozorovatele, vypadá zdroj stále slabší. K útlumu dochází podle zákona o inverzní kvadrátě , který říká, že osvětlení ze zdroje klesá jako 1/ d 2 , kde d se rovná vzdálenosti od zdroje světla k pozorovateli.

Hvězdné světlo se také šíří podle zákona inverzní čtverce. Paprsky světla se šíří uvnitř koule se středem na hvězdě. Jak čas plyne, koule se zvětšuje, jak se světlo vzdaluje od hvězdy. Koule se zvětší, ale počet paprsků zůstává stejný. Proto množství světla procházející jedinou oblastí na kouli klesá se vzdáleností, a tedy s časem. Při pozorování hvězdy jsou pozorovatelem zaznamenány pouze ty paprsky, které spadají do určité oblasti. Tato skutečnost ukazuje, proč se vzdálenější hvězdy jeví jako slabší.

Uvažujme dvě hvězdy stejné svítivosti v různých vzdálenostech. Bližší hvězda se bude jevit jasnější. Zdánlivá hvězdná velikost tedy závisí nejen na svítivosti zdroje, ale také na vzdálenosti k němu.

Pokud by všechny hvězdy měly stejnou svítivost, pak by se vzdálenost Země od hvězdy určila jednoduše. Hvězdy však mají výrazně odlišnou svítivost, a proto je obtížné rozeznat vzdálenou jasnou hvězdu od slabě blízké. Určení vzdálenosti k astronomickým objektům je tedy obtížný úkol.

Důvod pro Malmquistovo odstranění

Obvykle při pozorování oblasti oblohy vidíme hvězdy pouze do určité velikosti. Jak bylo uvedeno výše, uvidíme vzdálené hvězdy a blízké hvězdy s vysokou svítivostí, jasné i slabé. Bude se tedy zdát, že do určité vzdálenosti je mnohem více hvězd s vysokou svítivostí než slabých. Ve skutečnosti je slabých hvězd mnohem více, [3] ale do pozorovaného vzorku nespadají, protože jsou příliš slabé. Posun ke hvězdám větší svítivosti při pozorování výřezu oblohy ovlivňuje určení průměrné hodnoty absolutní hvězdné velikosti a průměrné vzdálenosti ke skupině hvězd. Vzhledem k tomu, že hvězdy s vysokou svítivostí jsou viditelné na velké vzdálenosti, může se zdát, že uvažovaný vzorek je v průměru dále, a proto bude každá hvězda považována za hvězdu s vyšší svítivostí. Tento efekt se nazývá Malmquistova zaujatost. [jeden]

Při studiu vzorku zdrojů s vysokou svítivostí, hvězd nebo galaxií je důležité vzít v úvahu posun směrem k jasnějším objektům. Existuje několik metod, jak vzít v úvahu vliv Malmquistovy zaujatosti.

Vliv Malmquistova posunu se neomezuje pouze na jasy objektů. Ostatní pozorovatelné veličiny podléhají stejnému posunu a jejich schopnost detekovat klesá se vzdáleností. [čtyři]

Korekční metody

V ideálním případě by se tomuto zkreslení v průzkumech mělo zabránit. Nejsnáze se však implementují průzkumy s omezenou velikostí , zatímco jiné metody jsou složitější a vyžadují zohlednění jiných typů nejistot, což může být pro objekty pozorované poprvé obtížné. Pro odstranění zkreslení byla navržena řada různých metod. Níže jsou uvedeny metody v pořadí zvyšování složitosti a zvýšení přesnosti a účinnosti.

Limit vzorkování

Nejjednodušší metoda zahrnuje použití pouze nezaujaté části souboru dat. [5] V závislosti na mezní velikosti může existovat interval hodnot vzdálenosti, ve kterém budou viditelné všechny objekty s různými absolutními velikostmi . Pak bude taková datová podmnožina bez Malmquistova zkreslení. Získání takové podmnožiny lze provést následovně: mezní hodnota vzdálenosti je ta, při které budou mít nejslabší objekty mezní velikost. Bohužel tato metoda zahrnuje vyloučení velkého množství dat a omezuje možnou analýzu pouze na data o blízkých objektech. Také tato metoda předpokládá přesnou znalost vzdáleností objektů.

Tradiční verze opravy

Prvním řešením navrženým Malmquistem v roce 1922 byla korekce střední absolutní velikosti ( ) vzorku tak, aby se získala nezkreslená hodnota ( M 0 ). [1] Oprava je

Pro výpočet této opravy použil Malmquist a další vědci řadu předpokladů. [6]

  1. Nedochází k žádnému mezihvězdnému zániku nebo hmota mezi hvězdami (plyn nebo prach) neovlivňuje průchod světla. Tento předpoklad implikuje, že šíření světla se řídí pouze zákonem inverzní kvadrát.
  2. Funkce svítivosti (Φ) je nezávislá na vzdálenosti ( r ). Tento předpoklad znamená, že vesmír je v jakékoli části stejný a hvězdy jsou v jakékoli oblasti rozmístěny stejně jako v blízkosti Slunce.
  3. Pro danou oblast na nebeské sféře závisí hustota hvězd ( ρ ) pouze na vzdálenosti, což znamená stejný počet hvězd v průměru v různých směrech.
  4. Vzorek je považován za úplný, to znamená, že bere v úvahu všechny hvězdy až do limitní zdánlivé hvězdné velikosti ( m lim ).
  5. Funkci jasu lze aproximovat pomocí Gaussovy hodnoty se středem na střední absolutní velikost M 0 .
  6. Hvězdy patří do stejné spektrální třídy , jejíž průměrná absolutní hvězdná velikost je rovna M 0 , rozptyl je roven σ .

Tato situace je ideální a poslední předpoklad je spojen s největšími obtížemi, ale umožňuje opravu jednoduchého formuláře. Při integraci funkce svítivosti na všechny vzdálenosti a magnitudy jasnější než m lim máme

[1] [6]

kde A(m lim ) se rovná celkovému počtu hvězd jasnějších než m lim . Pokud lze prostorové rozložení hvězd považovat za rovnoměrné, pak je tento vztah zjednodušen a zredukován do tvaru

[1] [6] Korekce v rámci pozorování v několika pásmech

Tradiční metoda znamená, že měření zdánlivé velikosti a měření, ze kterých se určují vzdálenosti, se provádějí ve stejném rozsahu vlnových délek (například v pásmu H, interval vlnových délek v infračerveném rozsahu, kolem 1300-2000 nm ), který vede ke korekci ve tvaru cσ 2 , kde c je konstanta. Bohužel jsou takové případy vzácné, protože vzdálenost k objektům se obvykle určuje z pozorování v jiných rozsazích vlnových délek. Například galaxie se často vybírají z katalogů průzkumů v pásmu B, nejúplnější průzkumy a pak se používají zdánlivé hvězdné magnitudy v tomto pásmu, ale vzdálenosti se určují ze závislosti Tully-Fisher a v pásmu H. V tomto případě je rozptyl nahrazen kovariancí mezi parametrem rozptylu vzdálenosti a rozptylu galaxií (například zdánlivá velikost). [7]

Vážení podle objemu

Další jednoduchou metodou korekce je použití váženého průměru k zohlednění relativního příspěvku každé hodnoty. Vzhledem k tomu, že objekty s různými absolutními velikostmi lze vidět na různé vzdálenosti, příspěvek každého bodu k průměrné absolutní velikosti nebo funkci svítivosti lze uvažovat s váhou 1/V max , kde V max ukazuje maximální objem, ve kterém mohou být objekty. pozorováno. Jasnější objekty (s nižšími absolutními magnitudami) budou mít větší objem, ve kterém je lze detekovat, a proto budou mít menší váhu, i když obecně taková skupina bude reprezentována větším počtem objektů. [8] Maximální objem lze znázornit jako objem koule, jejíž poloměr je určen z modulu vzdálenosti absolutní velikostí předmětu a mezní zdánlivou velikostí.

Při určování V max jsou dvě hlavní potíže . Za prvé, průzkum nemusí pokrýt celou oblohu, to znamená, že je třeba vzít v úvahu oblast části oblohy, kde jsou studované objekty pozorovány. [8] Při úplném průzkumu jsou objekty pozorovány na celé nebeské sféře, ale v praxi jsou úplné průzkumy vzácné kvůli časovým omezením pozorování a také geografickým omezením (část oblohy nemusí být z určité zeměpisné šířky viditelná). ). Místo toho se pozorování provádějí na malé ploše oblohy, pak se předpokládá určité rozložení objektů (rovnoměrné nebo ztluštění směrem k rovině Galaxie), což umožňuje extrapolaci pozorování na celou nebeskou sféru. Je také možné jednoduše škálovat počet pozorovaných objektů podle oblasti pozorované části oblohy. Při porovnávání různých recenzí je třeba vzít v úvahu dopad neúplnosti přezkumu.

Za druhé, při pozorování vzdálených objektů je třeba vzít v úvahu kosmologický červený posuv a expanzi vesmíru . V tomto případě je nutné vzít v úvahu vzdálenost comoving , která je konstantní mezi dvěma objekty, za předpokladu, že se vzájemně pohybují pouze kvůli expanzi vesmíru. Pokud zanedbáme rozpínání Vesmíru, pak lze doprovodnou vzdálenost považovat za vzdálenost mezi objekty. Přidruženou vzdálenost lze použít k výpočtu objemu. Je-li červený posuv roven z , D A a V A jsou rovny vzdálenosti a objemu (ať už jsou aktuálně měřeny cokoli), D C a V C jsou rovny blížícímu se vzdálenosti a objemu, pak

[9]

Vážnou nevýhodou objemového vážení je jeho vysoká citlivost na rozsáhlé struktury, jako jsou hvězdokupy nebo dutiny . [10] Přítomnost oblasti s velmi vysokou nebo velmi nízkou hustotou objektů zavede významný posun ve funkci průměrné absolutní velikosti nebo jasu. Přítomnost rozsáhlých nehomogenit má největší vliv na výpočet slabých objektů, protože pro ně jsou objemy, ve kterých lze tyto objekty pozorovat, malé.

Složitější korekční metody

Existuje řada časově náročnějších a správnějších metod, jak zohlednit Malmquistovu zaujatost. Některé z metod jsou uvedeny níže se stručným popisem; podrobnější informace lze získat z odkazů na články.

Oprava maximální pravděpodobnosti

Tato metoda je založena na distribučních funkcích objektů, jako jsou hvězdy nebo galaxie, ukazující očekávaný počet objektů v určitém rozsahu parametrů. Každý z parametrů uvažovaných objektů, jako je zdánlivá hvězdná velikost, vzdálenost, má svou distribuční funkci, podle které lze za přítomnosti generátoru náhodných čísel vytvořit teoretický vzorek objektů. Předpokládá se, že distribuční funkce vzdáleností je známá, distribuční funkce absolutních veličin se může lišit. Je možné porovnat různé absolutní distribuční funkce velikosti s pozorovaným rozložením objektů a najít takovou funkci, pro kterou bude pozorované rozložení objektů nejpravděpodobnější. Pokud existují určitá omezení schopnosti detekce objektů, můžete získat skutečnou nezkreslenou distribuční funkci. Tato metoda vyžaduje velké množství výpočtů. [10] [11]

Schechterova metoda

Paul Schechter při studiu galaxií objevil vztah mezi logaritmem šířky spektrální čáry a zdánlivou hvězdnou magnitudou. [12] V ideálním případě by spektrální čáry měly být nekonečně úzké vrcholy, ale pohyb objektu, jako je rotace nebo posun podél linie pohledu vzhledem k pozorovateli, vede k rozšíření a posunutí čar. Poměr byl nalezen na základě Tully-Fisherova poměru, který udává vzdálenost ke galaxii, zdánlivou velikost a rychlost (maximální hodnota na rotační křivce ). Díky Dopplerovu rozšíření lze logaritmus šířky pozorované spektrální čáry vztáhnout k šířce rozložení rychlosti. Pokud považujeme vzdálenosti za dobře známé, pak se ukáže, že absolutní velikost a šířka čar spolu úzce souvisí. [12] Například při pozorování neutrálního vodíku v přímce 21 cm je poměr znázorněn jako lineární zákon

kde P je logaritmus šířky spektrální čáry a α a β jsou konstantní.

Důvodem, proč je tento odhad užitečný, je to, že inverzní regresní přímka nepodléhá Malmquistově zkreslení, efekt výběru ovlivňuje pouze velikost. Očekávaná hodnota P daná M bude nezkreslená, což poskytne nezkreslený odhad logaritmu vzdálenosti. [13]

Pokročilejší matematické metody

Vylepšené verze opravných metod jsou založeny na dalších omezujících předpokladech. Často takové metody vedou ke složitým matematickým výrazům použitelným na konkrétní případy. Luri a kol. Aplikace poměru dává přesnější odhady, ale vyžaduje určité předpoklady o prostorovém rozložení hvězd. [čtrnáct]

Aplikace

Při použití vzorkování s omezenou velikostí je nutné použít jednu z výše uvedených metod ke korekci Malmquistova zkreslení. Například při odvozování funkce jasu, kalibraci Tully-Fisherova vztahu nebo určování Hubbleovy konstanty může Malmquistova odchylka značně ovlivnit výsledek.

Funkce jasu ukazuje počet hvězd nebo galaxií v jednotkovém intervalu podle svítivosti nebo absolutní velikosti. Při použití vzorku s omezením zdánlivé velikosti dochází k podhodnocení počtu slabých objektů, což posouvá vrchol funkce jasu do oblasti objektů s vyšší svítivostí a mění tvar funkce. Obvykle se pro korekci Malmquistova zkreslení používá objemově vážená metoda, po které je vzorek považován za omezený na vzdálenost. [15] Obrázek vpravo ukazuje dvě funkce svítivosti pro vzorek hvězd omezené zdánlivou velikostí. Tečkovaná křivka znázorňuje funkci svítivosti bez korekce Malmquistova zkreslení, plná modrá křivka znázorňuje korigovanou funkci svítivosti. Malmquistova zkreslení výrazně ovlivňuje tvar křivky.

Závislost Tully-Fisher, která dává do souvislosti svítivost galaxií a rychlost rotace, je také ovlivněna Malmquistovým zkreslením. Pokud se ke kalibraci vztahu použije blízká kupa galaxií a pak se poměr použije na vzdálenější kupu, pak se vzdálenost ke vzdálené kupě bude systematicky posouvat dolů. [13]

Alternativy

Aby se předešlo Malmquistově zaujatosti, bylo navrženo několik alternativních metod, z nichž některé budou uvedeny níže.

Vzorkování s omezenou vzdáleností

Když uvažujeme vzorek objektů do určité vzdálenosti, Malmquistova zaujatost nebude chybět. [5] V takovém vzorku bude uvažovaný objem zahrnovat všechny typy hvězd, distribuční funkce a funkce jasu nebudou zkresleny. V praxi je tato metoda velmi obtížně realizovatelná, protože určování vzdáleností objektů je spojeno s řadou obtíží. I v případě určení vzdálenosti pomocí standardních svíček mají získané odhady nejistoty. Nejčastěji je úplné vzorkování objektů do určité vzdálenosti možné pouze na relativně malé vzdálenosti.

Jednotné a nejednotné Malmquistovy opravy

Tato metoda se opět pokouší opravit offset, ale jiným způsobem. Namísto stanovení absolutních veličin metoda považuje vzdálenosti k objektům za náhodné proměnné a poté tyto vzdálenosti přeškáluje. [13] Namísto připisování správného rozložení absolutních velikostí hvězdám ve vzorku je metoda posouvání objektů prováděna tak, aby se rozložení vzdáleností ukázalo jako správné. V ideálním případě by se výsledky měly shodovat s výsledky získanými metodami korekce velikosti. V obou homogenních i nehomogenních metodách je zkreslení definováno z hlediska předchozího rozdělení vzdáleností, odhadu vzdálenosti a věrohodnostní funkce . V homogenním případě se počáteční vzdálenosti nakonec vynásobí stejným faktorem. Taková metoda poskytuje nepřesný výsledek v přítomnosti rozsáhlých struktur a pozorovacích selekčních efektů. V nehomogenním případě se pokusíme zohlednit takové vlivy při vytváření složitějšího předchozího rozdělení, které zahrnuje nehomogenity v pozorovaném rozdělení. V obou případech se předpokládá Gaussova distribuční funkce s konstantním rozptylem a střední hodnotou rovnou skutečnému střednímu logaritmu vzdálenosti. Jsou diskutovány limity použitelnosti této metody, protože při počátečním měření vzdáleností objektů existuje řada nejistot. [13]

Historické alternativní definice

Termín Malmquist bias nebyl vždy aplikován na efekt popsaný výše. Ještě v roce 2000 byla řada statistických efektů v literatuře nazývána Malmquistova zaujatost. [16]

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Malmquist, Gunnar. O některých vztazích ve statistikách hvězd // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. - 1922. - T. 16 , č. 23 . - S. 1-52 . - .
  2. ↑ Malmquist, Gunnar. Příspěvek k problému určování rozložení hvězd v prostoru  //  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik : journal. - 1925. - Sv. 19A , č. 6 . - str. 1-12 . - .
  3. ↑ Salpeter, Edwin. Funkce svítivosti a vývoj hvězd  //  The Astrophysical Journal  : journal. - IOP Publishing , 1955. - Sv. 121 . — S. 161 . - doi : 10.1086/145971 . - .
  4. ↑ Stěna, JV; Jenkins, ČR Praktická statistika pro astronomy. — 2. - Cambridge, UK: Cambridge University Press , 2012. - S. 189. - (Cambridge Observing Handbooks for Research Astronomers). - ISBN 978-0-521-73249-9 .
  5. ↑ 1 2 Sandage, Allan (listopad 2000), Malmquistova zaujatost a limity úplnosti , v Murdin, P., The Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics , Bristol: Institute of Physics Publishing, článek 1940, ISBN 0-333-75088-8 10.1888/0333750888/1940 . 
  6. ↑ 1 2 3 Butkevich, AG; Berdyugin, A. V.; Terrikorpi, P. Statistické zkreslení ve hvězdné astronomii. the Malmquist bias revisited  (anglicky)  // MNRAS  : journal. - 2005. - září ( roč. 362 , č. 1 ). - str. 321-330 . - doi : 10.1111/j.1365-2966.2005.09306.x . - .
  7. ↑ Gould, Andrew. Selekce, kovariance a Malmquistova zaujatost  //  The Astrophysical Journal  : journal. - IOP Publishing , 1993. - Srpen ( roč. 412 ). - str. 55-58 . - doi : 10.1086/186939 . - .
  8. ↑ 1 2 Blanton, Michael; Schlegel, DJ; Strauss, M. A.; Brinkmann, J.; Finkbeiner, D.; Fukugita, M.; Gunn, JE; Hogg, DW; Ivezic, Z.; Knapp, G. R.; Lupton, RH; Munn, JA; Schneider, D.P.; Tegmark, M.; Zehavi, I. New York University Value-Added Galaxy Catalog: A Galaxy Catalog Based on New Public Surveys  //  The Astronomical Journal  : journal. - IOP Publishing , 2005. - Červen ( roč. 129 , č. 6 ). - S. 2562-2578 . - doi : 10.1086/429803 . - . - arXiv : astro-ph/0410166 .
  9. ↑ Hogg, David W. (prosinec 2000), Měření vzdálenosti v kosmologii, arΧiv : astro-ph/9905116 . 
  10. ↑ 1 2 Blanton, Michael R.; Lupton, RH; Schlegel, DJ; Strauss, M. A.; Brinkmann, J.; Fukugita, M.; Loveday, J. Vlastnosti a funkce svítivosti galaxií s extrémně nízkou svítivostí  //  The Astrophysical Journal  : journal. - IOP Publishing , 2005. - Září ( roč. 631 , č. 1 ). - S. 208-230 . - doi : 10.1086/431416 . - . — arXiv : astro-ph/0410164 .
  11. ↑ Efstathiou, George; Frank, C.S.; Bílá, SDM; Davis, M. Gravitační shlukování z počátečních podmínek bez měřítka  // MNRAS  :  journal. - 1988. - prosinec ( sv. 235 ). - str. 715-748 . - doi : 10.1093/mnras/235.3.715 . - .
  12. ↑ 1 2 Schechter, PL Poměr hmoty ke světlu pro eliptické galaxie  // Astronomical Journal  :  journal. - 1980. - Červenec ( sv. 85 ). - S. 801-811 . - doi : 10.1086/112742 . - .
  13. ↑ 1 2 3 4 Hendry, MA; Simmons, JFL & Newsam, AM (říjen 1993), Co máme na mysli 'Malmquist Bias'?, arΧiv : astro-ph/9310028 . 
  14. ↑ Luri, X.; Mennessier, MO; Torra, J.; Figueras, F. Nový přístup k Malmquistově zkreslení  // Astronomy and Astrophysics  : journal  . - 1993. - Leden ( sv. 267 ). - str. 305-307 . - .
  15. ↑ Binney, James; Merrifield, Michael. Galaktická astronomie. - Princeton University Press , 1998. - S. 111-115.
  16. ↑ Murdin, Paul. Malmquist, Gunnar (1893-1982) // Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics  (anglicky) . - 2000. - ISBN 0-333-75088-8 . - doi : 10.1888/0333750888/3837 .