Subdiferenciál

Subdiferenciál funkce f definované na Banachově prostoru E je jedním ze způsobů, jak zobecnit pojem derivace na libovolné funkce. I když je třeba obětovat jedinečnost mapování (hodnoty subdiferenciálu jsou v obecném případě množiny, nikoli jednotlivé body), ukazuje se jako docela pohodlné: jakákoli konvexní funkce se ukazuje jako subdiferenciální na celou doménu definice. V těch případech, kdy není předem nic známo o diferencovatelnosti funkce, se to ukazuje jako významná výhoda.

Navíc je subdiferenciál (s dosti slabým omezením funkce) v mnoha ohledech svými vlastnostmi podobný obyčejné derivaci. Zejména pro diferencovatelnou funkci se shodují, ale pro nediferencovatelnou funkci se v daném bodě ukazuje jako „množina možných derivací“. Hodnoty subdiferenciálu jsou konvexní podmnožiny duálního prostoru E *.

Definice

Subdiferenciál konvexní funkce v bodě je množina sestávající ze všech lineárních funkcionálů vyhovujících všem nerovnostem $\partial f(x_{0})$ $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ ${\displaystyle x_{0))$ $p\in E^{*}$ $x\in E$

p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})

Funkce se nazývá subdiferencovatelná v bodě , pokud je množina neprázdná. $f(x)$ $x_{0}$ $\partial f(x_{0})$

Vektor patřící k subdiferenciálu se nazývá subgradient funkce v bodě . $p\in E^{*}$ $\partial f(x_{0})$ $f(x)$ $x_0$

Vlastnosti

$\partial f(x_{0})$ je konvexní (možná prázdná) zasazená $E^{*}$

Nechť f 1 (x), f 2 (x) jsou konvexní konečné funkce a jedna z nich je spojitá v bodě x, , pak $\lambda \geq 0$

$\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{ 2}(x)\vpravo)$ , součet je chápán ve smyslu Minkowského součtu .

$\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$

Je-li funkce v bodě konvexní a spojitá , pak je v tomto bodě subdiferencovatelná , to znamená , že její subdiferenciál je kompaktní a konvexní množina. $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $x\in E$ $x\in E$ $\partial f(x)\neq \varnothing$ $\partial f(x)$

Nechť je funkce konvexní a konečná. V tomto případě je funkce Gateauxova diferencovatelná v bodě právě tehdy, když její subdiferenciál v tomto bodě sestává z jediného vektoru $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $f(x)$ $x_{0}\in E$ ${\displaystyle \partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x))\right\))$

Funkce má lokální minimum v bodě právě tehdy, když 0 patří k subdiferenciálu v tomto bodě.

Jestliže posloupnost konvexních funkcí bodově konverguje ke konvexní funkci , pak pro jakoukoli konvergentní posloupnost její limita náleží subdiferenciálu . $f_n$ $F$ $p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$ ${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }p_{n))$ $\partial _{x_{0}}f$

Odkazy

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Prvky konvexní a silně konvexní analýzy. - M. : Fizmatlit, 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3 .
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Základy konvexní analýzy. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6 .