Existence a hladkost řešení Navier-Stokesových rovnic

Existence a hladkost řešení Navier-Stokesových rovnic je jedním ze sedmi matematických problémů tisíciletí formulovaných v roce 2000 Clayovým matematickým institutem .

Navier-Stokesovy rovnice popisují pohyb viskózní newtonovské tekutiny a jsou základem hydrodynamiky . Numerická řešení Navier-Stokesových rovnic se používají v mnoha praktických aplikacích a vědeckých pracích. Analytická řešení těchto rovnic však byla nalezena pouze v některých speciálních případech, takže neexistuje úplné pochopení vlastností Navier-Stokesových rovnic. Zejména řešení Navier-Stokesových rovnic často zahrnují turbulenci , která zůstává jedním z nejdůležitějších nevyřešených problémů ve fyzice , navzdory jejímu velkému významu pro vědu a techniku.

Navier-Stokesovy rovnice

Pro trojrozměrný vektor rychlosti a tlaku tekutiny jsou Navier-Stokesovy rovnice zapsány takto: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+({\vec {v))\cdot \nabla ){\vec {v))=-{\frac { 1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t)

kde je kinematická viskozita , je hustota , je vnější síla , je operátor nabla a je Laplaceův operátor (Laplacián), který se také označuje jako nebo . Jedná se o vektorovou rovnici, kterou lze v trojrozměrném případě reprezentovat jako tři skalární rovnice. Označíme-li složky vektorů rychlosti a vnější síly jako: $\nu>0$ $\rho$ ${\vec f}({\vec x},\;t)$ $\nabla$ $\Delta$ $\nabla \cdot \nabla$ $\nabla ^{2}$

{\vec {v))({\vec {x)),\;t)=(v_{1}({\vec {x)),\;t),\;v_{2}( {\vec {x)),\;t),\;v_{3}({\vec {x)),\;t)),\qquad {\vec {f))({\vec {x} },\;t)=(f_{1}({\vec {x)),\;t),\;f_{2}({\vec {x)),\;t),\;f_{ 3}({\vec {x)),\;t))

pak se pro každou hodnotu získá odpovídající skalární rovnice: $i=1,\;2,\;3$

{\frac {\částečný v_{i}}{\částečný t}}+\součet _{{j=1}}^{3}v_{j}{\frac {\částečný v_{i}}{\částečný x_{j))}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\částečné p}{\částečné x_{i}}}+\nu \sum _{{j=1}}^ {3}{\frac {\částečné ^{2}v_{i}}{\částečné x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec x},\;t).

Neznámými veličinami jsou rychlost a tlak . Protože v trojrozměrném případě existují tři rovnice a čtyři neznámé (tři složky rychlosti a tlak), je potřeba ještě jedna rovnice. Doplňkovou rovnicí je zákon zachování hmoty - rovnice kontinuity, která se v případě nestlačitelného prostředí transformuje na podmínku nestlačitelnosti kapaliny: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

\nabla \cdot {\vec v}=0.

Počáteční podmínky pro Navier-Stokesovy rovnice jsou uvedeny ve tvaru:

{\vec v}({\vec x},0)={\vec {v^{0}}}({\vec x})

kde je daná funkce hladkého vektoru, která splňuje rovnici kontinuity . ${\vec {v^{0}}}({\vec x})$ $\nabla \cdot {\vec {v^{0))}=0$

Možnosti nastavení problému

Clay Institute formuloval dvě hlavní verze problému existence a hladkosti řešení Navier-Stokesových rovnic. V první verzi jsou rovnice uvažovány v celém trojrozměrném prostoru s určitými omezeními rychlosti růstu řešení v nekonečnu. Ve druhé verzi jsou rovnice uvažovány na trojrozměrném torusu s periodickými okrajovými podmínkami. Pro získání prémie stačí prokázat nebo vyvrátit existenci a bezproblémovost řešení v kterékoli ze dvou možností. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\mathbb {T}}^{3}={\mathbb {R}}^{3}/{\mathbb {Z}}^{3}$

Ve 3D prostoru

Nechť počáteční rychlost je libovolná hladká funkce splňující rovnici kontinuity a taková, že pro jakýkoli multiindex a jakýkoli existuje konstanta (závislá pouze na a ) taková, že ${\vec {v^{0}}}(x)$ $\alpha$ $K>0$ $C_{{\alpha ,K}}>0$ $\alpha$ $K$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{ K}}}\qquad

pro všechny

\qquad x\in {\mathbb {R}}^{3}.

Nechť vnější síla je také hladká funkce splňující podobnou nerovnost (zde multiindex zahrnuje i časové derivace): ${\vec {f}} ({\vec {x}}, t)$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad

pro všechny

\qquad ({\vec {x)),t)\in {\mathbb {R))^{3}\times [0,\infty ).

Řešením musí být hladké funkce, které se nezvyšují donekonečna jako . Jsou vyžadovány následující podmínky: $\vert {\vec {x}} \vert \to \infty$

${\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }({\mathbb {R}}^{3}\times [0,\infty )) \right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x)),t)\in C^{\infty }({\mathbb {R))^{3}\times [0,\ infty))$
Existuje konstanta taková, že pro všechny . $E\in (0,\infty )$ $\int _{{{\mathbb {R}}^{3}}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}}),t)\vert ^{2}dx<E$ $t\geq 0$

První podmínka znamená, že funkce jsou globálně definované a hladké; druhá je, že kinetická energie je globálně omezená.

Je třeba prokázat jedno ze dvou tvrzení:

existence a hladkost řešení Navier-Stokesových rovnic v : pro a jakoukoli počáteční podmínku splňující podmínky popsané výše existuje globální hladké řešení Navier-Stokesových rovnic, tj. vektor rychlosti a tlakové pole splňující podmínky 1 a 2; $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {f}}({\vec {x}}),t)\equiv 0$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {v}} ({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$
neexistence nebo nehladkost řešení Navier-Stokesových rovnic v : existují počáteční podmínky a vnější síla taková, že neexistují žádná řešení a splňují podmínky 1 a 2. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {f}} ({\vec x},t)$ ${\vec {v}} ({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$

Pokusy o řešení

10. ledna 2014 kazašský matematik Mukhtarbay Otelbaev publikoval článek, ve kterém tvrdil, že podal úplné řešení problému [1] , kontrolu výsledku komplikuje skutečnost, že práce byla napsána v ruštině [2] [ 3] . V matematických komunitách jsou diskutovány protipříklady k hlavním tvrzením [4] . V roce 2014 byla v důkazu zjištěna závažná chyba, kterou autor přiznal [5] .

Poznámky

↑ Mukhtarbai Otelbaev . Existence silného řešení Navier-Stokesovy rovnice // Mathematical journal. - 2013. - T. 13 , č. 4 (50) . - S. 5-104 . — ISSN 1682-0525 . Archivováno z originálu 17. srpna 2014. (Ruština) : Řešení problému šestého tisíciletí je dáno: je prokázána existence a jedinečnost silného řešení trojrozměrného Navier-Stokesova problému s periodickými okrajovými podmínkami v prostorových proměnných
↑ Liz Klimasová. Matematický problém v hodnotě 1 milion USD může být vyřešen, ale stále je tu jeden problém… (anglicky) (odkaz není k dispozici) . The Blaze (22. ledna 2014). — «Aktuálním problémem Otelbajevových novin je, že jsou psány v ruštině.». Datum přístupu: 23. ledna 2014. Archivováno z originálu 23. ledna 2014.
↑ Jacob Aron, Katia Moskvitch. Kazašský matematik možná vyřešil hádanku za 1 milion dolarů . New Scientist (22. ledna 2014). Datum přístupu: 24. ledna 2014. Archivováno z originálu 2. února 2014.
↑ Rovnice - doleva! (6. února 2014). Datum přístupu: 12. února 2014. Archivováno z originálu 23. února 2014. (Ruština)
↑ Ďábelský milionový důkaz uniká matematikům . Staženo 12. 5. 2016. Archivováno z originálu 25. 5. 2016. (neurčitý)

Literatura

PG Lemarie-Rieusset. Problém Navier-Stokes v 21. století . - CRC Press, 2016. - S. 740. - ISBN 1466566213 .
Giovanni Galdi. Úvod do matematické teorie Navier-Stokesových rovnic: Problémy ustáleného stavu . - Springer, 2011. - S. 1032. - ISBN 0387096191 .

Odkazy

Oficiální popis úkolu poskytl Charles Fefferman
Vydání roku 2000: Navier-Stokesovy rovnice // Computerra , 5. října 2005 .
Nejmodernější na osobním blogu Terence Taa