Hadamard-Cartanova věta
Hadamard-Cartanův teorém je tvrzení, že univerzální pokrytí Riemannovy variety s nepozitivním zakřivením je difeomorfní k euklidovskému prostoru .
Historie
Pro povrchy v euklidovském prostoru byla věta prokázána von Mangoldtem v roce 1881 [1] a nezávisle Hadamardem v roce 1898 [2] . Obecný případ byl prokázán Cartanem v roce 1928 [3] .
Zobecnění na metrické prostory v různých obecnostech získali Busemann [4] [5] a Rinov [6] , Gromov [7] a také Alexander a Bishop [8] .
Formulace
Cartan-Hadamardův teorém říká, že univerzální krycí prostor spojené kompletní Riemannovy variety nepozitivního sekčního zakřivení je difeomorfní k euklidovskému prostoru. Kromě toho je exponenciální mapa v libovolném bodě difeomorfismus.
Variace a zobecnění
- Věta zobecňuje na Hilbertovy variety v tom smyslu, že exponenciální zobrazení je univerzální pokrytí. V tomto případě je úplnost chápána v tom smyslu, že exponenciální zobrazení je definováno na celém prostoru tečny k bodu.
- Cartan-Hadamardův teorém pro metrické prostory: metrický prostor X s nepozitivním zakřivením ve smyslu Aleksandrova je CAT(0) -prostor.
- Konkrétně, je-li X jednoduše spojeno , pak jakékoli dva body v něm jsou spojeny jedinou geodézou, což znamená, že X je smrštitelné .
Od předpokladu nekladného zakřivení lze polevit [8] . Metrický prostor X nazýváme konvexním , jestliže pro libovolné dvě geodetiky a ( t ) a b ( t ) je funkce
je konvexní funkce t . O metrickém prostoru se říká , že je lokálně konvexní , pokud má každý z jeho bodů okolí, které je v tomto smyslu konvexní. Cartan-Hadamardův teorém pro lokálně konvexní prostory je formulován takto:
- Jestliže X je lokálně konvexní úplný spojený metrický prostor, pak univerzální pokrytí X je konvexní geodetický prostor s ohledem na indukovanou vnitřní metriku .
- Zejména univerzální zakrytí takového prostoru je stahovatelné.
Poznámky
- ↑ Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (německy) // J. Reine Angew. Matematika.. - 1881. - Bd. 91 . — S. 23–53 .
- ↑ Hadamard, J. Sur la form des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surface réglées du second ordre (francouzsky) // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1898. - Sv. 26 . - S. 195-216 . Archivováno z originálu 3. června 2018.
- ↑ Cartan, Elie. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann (francouzsky) . - Paříž: Gauthier-Villars, 1928. - vi + 273 s.
- ↑ Busemann, H. Prostory s nekladnou křivostí. Acta Mathematica 80 (1948), 259-310.
- ↑ Buseman G. Geometrie geodetiky. — 1962.
- ↑ Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlín, Geidelberg, New York, 1961.
- ↑ Gromov, M. Hyperbolické grupy. Eseje z teorie grup. (anglicky) // Math. sci. Res. Inst. Publ.. - New York: Springer, 1987. - Sv. 8 . — S. 75–263 .
- ↑ 1 2 S. B. Alexander, R. L. Bishop. Hadamardova-Cartanova věta v lokálně konvexních metrických prostorech // Enseign. Matematika. (2). - 1990. - T. 36 , no. 3-4 . - S. 309-320 .