Alexandrova předbázová věta

Alexander Subbase Theorem [ 1] je teorém obecné topologie , který stanoví kritérium pro kompaktnost topologického prostoru.

Prostor se nazývá kompaktní, pokud připouští konečné dílčí pokrytí z každého jeho pokrytí otevřenými množinami. Alexandrova věta výrazně zužuje třídu krytin, které je třeba vzít v úvahu pouze pro stanovení kompaktnosti.

Formulace teorému používá pojem předbáze topologie — rodiny otevřených podmnožin, jejichž konečné průsečíky tvoří základ topologie .

Věta (J. Alexander, 1939 [2] ). Topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když výběr konečného dílčího pokrytí připouští každý kryt složený z prvků nějaké dílčí báze jeho topologie.

Důkaz. Potřeba tohoto kritéria kompaktnosti je zřejmá, protože všechny prvky předzákladny jsou otevřené sady. Dostatečnost se dokazuje rozporem. Nechť je prostor X nekompaktní, ačkoli jakýkoli kryt složený z prvků předbáze jeho topologie připouští konečné podpokrytí. Nechť je základem topologie prostoru X tvořeného touto předbází. Každý jeho prvek je konečným průsečíkem prvků předbáze. ${\mathfrak {P}}$ ${\mathfrak {B}}$

Množina všech možných - pokrytí prostoru X (tedy složená ze základních prvků ), která neumožňují konečné podpokrytí, je induktivně uspořádaná a neprázdná, platí pro ni tedy Zornovo lemma . Existuje tedy maximální (neroztažitelný) takový kryt. Prvky předzákladu v něm obsažené netvoří obal prostoru X, proto je nějaký bod překryt prvkem podstavy , obal však neobsahuje žádný z prvků předbáze . ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {P}}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$

Dále se používá maximální uvažované pokrytí. Po přidání sady do ní můžeme extrahovat finální subcover. Kombinací všech těchto podkrytů, odstraněním množin z nich a přidáním množiny získáme konečné krytí prostoru X, které je podkrytem původního krytí. Rozpor (původní obálka neumožňovala konečné dílčí obálky) dokazuje teorém. $P_{i}$ $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}$ $P_{1}\cap P_{2}\cap \ldots \cap P_{n}$

Snadný důkaz Alexandrovy věty lze získat pomocí následujícího kritéria kompaktnosti: topologický prostor je kompaktní právě tehdy, když má každý ultrafiltr v množině alespoň jednu limitu $X$ $X$ [3] .

Alexandrova věta je svazově teoretická (protože je formulována z hlediska vlastností rodiny otevřených podmnožin topologického prostoru, který je kompletní distributivní mřížkou) a umožňuje různá zobecnění na speciální třídy částečně uspořádaných množin [4] [5] [6] .

Poznámky

↑ Často se také nazývá Alexandrovo (předzákladní) lemma .
↑ Alexander JW Uspořádané množiny, komplexy a problém kompaktifikace. — Proc. Nat. Akad. sci. USA 25 (1939), str. 296-298. ( původní článek ).
↑ Diagram takového důkazu. Nechť je podzákladí prostoru takové, že jakékoli zakrytí prostoru jeho prvky obsahuje konečné podpokrytí. Nechť je ultrafiltr na , který nemá žádné limity. Pak má každý bod sousedství, které patří rodině a nepatří do . Dochází tedy k pokrytí prostoru prvky rodiny , z nichž žádný do ultrafiltru nepatří . Z tohoto obalu si lze vybrat konečný podkryt . Pak , ale žádný prvek z konečné rodiny nepatří do filtru , což odporuje jeho maximálnosti. ${\mathfrak {P}}$ $X$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $X$ $x\in X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ $X$ ${\mathfrak {P}}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ $X=\bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {F}}$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathcal {F}}$
↑ Abian A. Částečné zobecnění řádu Alexandrovy věty o subbázi Archivováno 19. ledna 2022 na Wayback Machine . — Rand. Circ. Rohož. Palermo 38 (1989), str. 271-276.
↑ Erné M. Semidistributivity, primární ideály a lemma podbáze Archivováno 19. ledna 2022 na Wayback Machine . — Rand. Circ. Rohož. Palermo 41 (1991) No. 2, str. 241-250.
↑ Roy a Mukherjee představili speciální typ kompaktnosti definovaný v podmínkách Choquetových mřížek (roštů) a dokázali pro něj analogy Alexandrovy předbáze a Tichonovovy věty o kompaktnosti: viz B. Roy, MN Mukherjee. O typu kompaktnosti prostřednictvím grilů Archivováno 19. února 2014 na Wayback Machine . — Matem. Vesn. 59 (2007), čís. 3, str. 113-120.

Literatura

Engelking, R. Obecná topologie / Per. z angličtiny. - M. : Mir, 1986. - Problém 3.12.2 (str. 331)