Kolmogorovova věta o třech řadách

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. prosince 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Kolmogorovův teorém o třech řadách , pojmenovaný po Andrey Kolmogorovovi , v teorii pravděpodobnosti stanoví kritérium pro konvergenci s pravděpodobností jedné z nekonečné řady náhodných proměnných prostřednictvím konvergence řad spojených s jejich rozděleními pravděpodobnosti . Kolmogorovův teorém o třech řadách v kombinaci s Kroneckerovým lemmatem lze použít k prokázání silného zákona velkých čísel .

Definice

Buďme konstantní. Pak $C$

\xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}

$já$ je indikátor na množině hodnot náhodné veličiny.

Prohlášení věty

Nechť je posloupnost nezávislých náhodných proměnných. Aby řada konvergovala s pravděpodobností jedna , je nutné, aby řada konvergovala pro jakoukoli $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\sum \xi$ $c>0$

\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},

\sum D\xi _{n}^{c},

\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)

a stačí, že tyto řady pro některé konvergují . $c>0$

Důkaz

Dostatečnost

Podle věty o dvou řadách řada konverguje s pravděpodobností jedna. Ale jestliže , pak Borelovým lemmatem - Cantelli s pravděpodobností jedna , a tedy pro všechny , snad kromě konečného čísla. Proto také řada konverguje. ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n}^{c))$ $n$ $\sum \xi$

Nutnost

Pokud řada konverguje, pak a tedy nemůže pro každého nastat více než konečný počet událostí . Proto druhou částí Borel-Cantelliho lemmatu . Dále z konvergence řady vyplývá konvergence řady . Proto podle věty o dvou řadách každá řada konverguje . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\xi _{n}\rightarrow 0$ $c>0$ ${\displaystyle {|\xi _{n}|\geqslant c))$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ $\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c}$ $\sum D\xi _{n}^{c}$

Důsledek

Dovolit být nezávislé náhodné proměnné s . Pak pokud $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\mathbb {E} \xi _{n}=0$

\sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,

pak řada konverguje s pravděpodobností jedna. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Příklad

Jako příklad zvažte náhodnou harmonickou řadu :

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n))

kde " " znamená, že znaménko každého termínu je vybráno náhodně, nezávisle as pravděpodobnostmi , . Výběrem řady, jejíž členy jsou a se stejnou pravděpodobností, lze snadno ověřit, že splňuje podmínky věty a konverguje s pravděpodobností jedna. Na druhé straně podobná řada inverzních odmocnin s náhodnými znaménky: $\odpoledne$ $1/n$ $1/2$ $1/2$ $\xi _{n}$ $1/n$ $-1/n$

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}},

diverguje s pravděpodobností jedna, protože řada diverguje. $\sum D\xi _{n}^{c}$

Literatura

Shiryaev A. N. Pravděpodobnost. - 3. vyd., revidováno. a další .. - M . : MTSNMO , 2004. (Kapitola 4 § 2 odst. 1)

Odkazy

Slunce, Rongfeng. Poznámky k přednášce (downlink) . Získáno 22. září 2015. Archivováno z originálu 17. dubna 2018. (neurčitý)