Nash-Kuiperova věta

Nash-Kuiperův teorém říká, že jakékoli hladké krátké vložení (nebo ponoření ) -rozměrné Riemannovy variety do euklidovského prostoru v lze aproximovat -hladkým izometrickým vkládáním (nebo ponořením). $n$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q))$ $q>n$ $C^1$

Formulace

Termín "izometrické zapuštění/ponoření" zde znamená zapuštění/ponoření, které zachovává délky křivek.

Přesněji:

Nechť je Riemannovská varieta a je krátké hladké vložení (nebo ponoření ) do euklidovského prostoru a . Pak pro libovolnou existuje vložení (nebo respektive ponoření) takové, že $(M,g)$ ${\displaystyle f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{q))$ $q>n$ $\varepsilon >0$ ${\displaystyle f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$

${\displaystyle f_{\varepsilon ))$ je hladký, $C^1$
(izometrické) pro libovolné dva tečné vektory v tečném prostoru bodu máme: $v,w\in T_{x}(M)$ $x\v M$

g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( -blízkost) pro všechny . $C^{0}$ $|f(x)-f_{\varepsilon }(x)|<\varepsilon$ $x\v M$

Tento výsledek je vysoce kontraintuitivní . Zejména z něj vyplývá, že do libovolně malé trojrozměrné koule může být izometricky zapuštěna jakákoliv uzavřená orientovaná plocha . Z Gaussova vzorce vyplývá, že takové vkládání je ve třídě -embedding nemožné. $C^1$ $C^{2}$

Historie

Větu místo toho dokázal Nash za předpokladu a Kuiper ji přivedl do současné podoby pomocí jednoduchého triku. $q>n+1$ $q>n$

Variace zobecnění

Nashova věta o pravidelném vkládání
Gromovův fold teorém říká, že pro jakékoli krátké zobrazení z -rozměrné Riemannovy variety do existuje libovolně blízké (nehladké) zobrazení, které zachovává délky křivek. $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Literatura

N. H. Kuiper . Na C 1 -izometrických vloženích // Matematika . - 1957. - T. 1 , č. 2 . - S. 17-28 . (Ruština)

J. Nash . C 1 -izometrická vložení // Matematika . - 1957. - T. 1 , č. 2 . - str. 3-16 . (Ruština)