Paley-Wienerova věta

Paley-Wienerova věta je množina všech celých funkcí exponenciálního typu , pro které se shoduje s množinou funkcí připouštějících reprezentaci , kde . $f(z)$ $\leq \sigma$ $\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}dx<\infty$ $f(z)$ $f(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\sigma }^{+\sigma }e^{izu}\phi (u)du$ $\phi (u)\in L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$

Vysvětlivky

Celá funkce exponenciálního typu je celá funkce , která pro jakoukoli splňuje nerovnost tvaru , kde čísla A, B nezávisí na z. Exponenciální typ funkce je nejmenší spodní mez pro hodnoty konstanty B, pro které tato nerovnost platí. Exponenciální typ se najde podle vzorce . Pod rozumět množině všech měřitelných v intervalových funkcích, jejichž druhá mocnina modulu je integrovatelná ve smyslu Lebesgue . $f(z)$ $z$ $|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$ $f(z)$ $\sigma ={\bar {\lim _{|z|\to \infty ))}{\frac {ln|f(z)|}{|z|}}$ $L^{2}(-\sigma ,+\sigma )$ $(-\sigma ,+\sigma )$

Paley-Wiener-Schwartzova věta pro zobecněné funkce

Jestliže je zobecněná funkce soustředěna v oblasti , pak její Fourierova transformace je celou analytickou funkcí 1. řádu růstu a typu . Naopak, nechť je celá analytická funkce 1. řádu růstu a typu , která roste rychleji než o nějaký stupeň , a je funkční odpovídající této funkci v prostoru . Pak je Fourierova transformace funkcionálu soustředěna v doméně . $F$ $G_{b}:|x|\leq b$ $\leq b$ $f(z)=f(z_{1},...z_{n})$ $\leq b$ $|x|\to \infty$ ${\displaystyle |x|^{q))$ $(f,\phi )=\int f(x)\phi (x)dx$ $Z$ ${\hat {f))$ $F$ ${\displaystyle G_{b))$

Viz také

Literatura

Norbert Wiener "Jsem matematik", M., 1964, 356 stran, střelnice. 50 000 výtisků, B 48 51 (09) MDT 510 (092), kap. 8 Znovu doma 1932-1933, s. 160-168;
Viner N. , Paley R. "Fourierova transformace v komplexní doméně", M., Nauka, 1964;
N. I. Akhiezer „Přednášky o teorii aproximace“, ed. 2nd, M., Nauka, 1965, 517,2 A 95 MDT 517,51, kap. 4 „Některé extremální vlastnosti celých funkcí exponenciálního typu“, s. 82 „Wiener-Paleyova věta“, s. 179-82;
"Funkční analýza", ed. 2, ed. S. G. Kerin , kap. 10 "Zobecněné funkce", položka 4 "Fourierova transformace zobecněných funkcí", položka 7 "Paley-Wiener-Schwartzova věta", str. 511;