Holevova věta

Holevův teorém je důležitý limitující teorém v kvantové práci na počítači , mezioborové oblasti fyziky a informatiky . Někdy se nazývá Holevo bound , protože teorém klade horní hranici na množství informací, které lze znát o kvantovém stavu (dostupné informace). Větu publikoval Aleksandr Semjonovič Holevo v roce 1973.

Úvod

Stejně jako u jiných konceptů kvantové teorie informace je snazší pochopit podstatu problému na příkladu komunikace mezi dvěma lidmi. Řekněme, že máme Alice a Boba . Alice má klasickou náhodnou veličinu X , která může nabývat hodnot {1, 2, …, n } s odpovídajícími pravděpodobnostmi . Alice připraví kvantový stav , reprezentovaný maticí hustoty , vybraným z množiny , a předá tento stav Bobovi. Bobovým cílem je najít hodnotu X , což se provádí měřením stavu , což dává klasický výsledek, označovaný Y . V této souvislosti je množství dostupných informací, tj. množství informací, které může Bob získat prostřednictvím proměnné X , maximální hodnotou vzájemné informace I ( X : Y ) mezi náhodnými proměnnými X a Y během všech možných měření, které Bob může udělat [1] . $\{p_{1},p_{2},\tečky ,p_{n}}\}$ $\rho _{X}$ ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\tečky \rho _{n}\))$ $\rho _{X}$

V současné době není znám žádný vzorec pro výpočet dostupných informací. Existuje však několik horních hranic, z nichž nejznámější je Holevova vazba, kterou vyjadřuje následující věta [1] .

Prohlášení věty

Nechť je množina smíšených stavů a nechť je jeden z těchto stavů extrahován podle rozdělení pravděpodobnosti . ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\tečky ,\rho _{n}\))$ $\rho _{X}$ $P=\{p_{1},p_{2},\tečky ,p_{n}}\}$

Nyní, pro jakékoli měření popsané prvky POVM ( pozitivní měření s hodnotou operátora , měření pozitivního operátora) a prováděné dne , je množství dostupných informací z proměnné X ve formě výsledku měření Y shora omezeno takto: $\{E_{Y}\}$ $\rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}$

I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

kde ; je von Neumannova entropie . ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i))$ $S(\cdot )$

Hodnota na pravé straně nerovnosti se nazývá Holevova informace nebo Holevova hodnota χ :

\chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

Důkaz

Chcete-li to dokázat, zvažte tři kvantové systémy pojmenované . Zároveň je považován za přípravu , - za kvantový stav připravený Alicí a předaný Bobovi a - za prostředek měření Bobovy přijaté informace. $P,Q,M$ $P$ $Q$ $M$

Složitý systém je zpočátku ve stavu $P\otimes Q\otimes M$

\rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|

Na stav Alice lze pohlížet, jako by Alice měla hodnotu pro náhodnou proměnnou . Potom je připravený stav smíšený stav popsaný maticí hustoty , kvantový stav předaný Bobovi je a Bobovy měřicí přístroje jsou ve svém počátečním nebo klidovém stavu . $P$ $X$ $X$ $\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|$ $\sum _{x}p_{x}\rho _{x}$ $|0\rangle$

Využití známých výsledků kvantové teorie informace[ co? ] lze zobrazit[ jak? ] to

S(P';M')\leqslant S(P;Q)

Také po některých algebraických výpočtech lze ukázat[ jak? ] , což je ekvivalentní tvrzení věty [1] .

Poznámky

Holevova vazba v podstatě dokazuje, že pro n qubitů , ačkoli mohou „nést“ více (klasické) informace díky kvantové superpozici, množství klasických informací, které lze extrahovat , tj. získat v praxi , nepřesahuje n klasických (tj. nezakódované kvantové) bity . To je překvapivé ze dvou důvodů. :

kvantové výpočty jsou často o tolik výkonnější než konvenční výpočty, že výsledky ukazující, že jsou jen nepatrně lepší, nebo dokonce horší, než konvenční techniky, jsou liché;
komplexní čísla jsou vyžadována pro kódování qubit, který představuje pouze n bitů. $2^{n}$

Viz také

Kvantové ultra-husté kódování

Poznámky

↑ 1 2 3 Nielsen, Chuang, 2000 .

Literatura

Holevo A.S. Limity množství informací přenášených přes kvantový komunikační kanál // Problémy přenosu informací. - 1973. - T. 9 . - S. 177-183 .
Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. sekce 12.1.1 - rovnice (12.6) // Quantum Computation and Quantum Information (anglicky) . - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000. - S. 531 . - ISBN 978-0-521-63235-5 .
Mark M. Wilde (2011), From Classical to Quantum Shannon Theory, arΧiv : 1106.1445v2 [quant-ph]. Viz část 11.6. Holevova věta je prezentována jako cvičení 11.9.1 na straně 288.

kvantová informatika

Obecné pojmy

kvantové komunikace

kvantový kanál
- kvantová síť
kvantová kryptografie
- Kvantová distribuce klíčů
Teleportace kvantové energie
kvantová teleportace
Kvantové ultra-husté kódování
LOCC
kvantová destilace

Kvantové algoritmy

kvantový simulátor
Deutsch-Yozhi algoritmus
Bernstein-Waziraniho algoritmus
Groverův algoritmus
Kvantová Fourierova transformace
Shorův algoritmus
Simonův problém
Algoritmus kvantového odhadu fáze
Kvantový výpočetní algoritmus
kvantové žíhání
Algoritmické chlazení
Kvantový algoritmus pro řešení soustavy lineárních rovnic
Amplitudový zisk

Kvantová teorie složitosti

Kvantové výpočetní modely

kvantový obvod
- kvantová brána
Jednostranný kvantový počítač
- shluk
Adiabatické kvantové výpočty
Topologický kvantový počítač

Prevence dekoherence

Oprava kvantových chyb
Stabilizační kódy
Stabilizační formalismus
Kvantový konvoluční kód

Fyzické implementace

kvantová optika	Kavitační kvantová elektrodynamika Konturová kvantová elektrodynamika Kvantové výpočty založené na lineární optice protokol KLM Bosonické vzorkování
superchladné atomy	Kvantový počítač s absorbovanými ionty Optická mřížka
zpět založené	Kvantový počítač založený na nukleární magnetické rezonanci Kaneův kvantový počítač Ztrátový kvantový počítač - DiVincenzo NV centrum
Supravodivé kvantové počítače	nabít qubit streamovací qubit Fázový qubit Transmon