Youngova věta

Youngova věta je nerovnost pro průměr a poloměr množiny bodů v jakémkoli euklidovském prostoru . Pojmenován po Heinrichu Jungovi.

Formulace

Dovolit být kompaktní soubor průměru ; to znamená, $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ $d$

{\displaystyle d=\max _{p,q\,\in \,K}\{\|pq\|\))

Pak je tu uzavřená koule s poloměrem

r\leq d{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))},

který obsahuje . Rovnosti je dosaženo pro pravidelný n - simplex . $K$

2D pouzdro

Nejčastějším případem je letadlo , tzn . V tomto případě nerovnost říká, že existuje kružnice obklopující všechny body, jejichž poloměr vyhovuje $n=2$

r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Této nerovnosti je dosaženo pro rovnostranný trojúhelník

r={\frac {d}{\sqrt {3}}}.

Variace a zobecnění

Obecné metrické prostory

Pro jakoukoli omezenou množinu v libovolném metrickém prostoru $K$

{\tfrac {d}{2}}\leq r\leq d

První nerovnost vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti pro střed koule a dva diametrální body. Druhý vyplývá ze skutečnosti, že koule o poloměru d se středem v libovolném bodě bude obsahovat všechny . $K$ $K$

V diskrétním metrickém prostoru, tedy prostoru, ve kterém jsou vzdálenosti mezi libovolným párem odlišných bodů stejné, je dosaženo druhé nerovnosti. První nerovnosti je dosaženo v injektivních prostorech , jako je vzdálenost městských bloků v rovině.

Viz také

Youngova nerovnost

Literatura

Rademacher G. , Toeplitz O. Čísla a čísla. Experimenty v matematickém myšlení . - (číslo 10 ze série " Knihovna matematického kroužku ").