Věta o reciprocitě

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. listopadu 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Věta o reciprocitě je název souboru příbuzných vět, které popisují vzájemnou změnu časově harmonických hustot elektrického proudu (zdrojů) a vznikajících elektromagnetických polí v Maxwellových rovnicích pro lineární izotropní a negyrotropní prostředí.

Pravděpodobně nejslavnější a nejobecnější z takových teorémů je Lorentzovo lemma (a jeho speciální případy, jako je Rayleigh-Carsonova věta ), dokázané Hendrikem Lorentzem v roce 1896, po podobných výsledcích Rayleigha a Helmholtze , aplikované na zvukové vlny a světlo, respektive. Jednoduše řečeno, lemma stanoví, že vztah mezi střídavým proudem a elektrickým polem , které vytváří, zůstává nezměněn při změně místa bodu, ve kterém proud teče, a bodu, ve kterém je pole pozorováno.

Lorenzovo lemma

Nechť proud o hustotě generuje elektrické pole a magnetické pole , přičemž všechny tři veličiny jsou harmonickými funkcemi času s úhlovou frekvencí , to znamená, že jejich časová závislost je popsána funkcí . Nechť nějaký jiný harmonický proud se stejnou úhlovou frekvencí vytváří elektrická a magnetická pole a . Podle Lorentzova lemmatu, pokud prostředí splňuje nějaké přírodní podmínky, pak pro jakýkoli povrch , který ohraničuje objem, platí následující: ${\displaystyle \mathbf {J} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1))$ $\mathbf {H} _{1}$ $\omega$ $\exp(-i\omega t)$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2))$ $\omega$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {H} _{2))$ $S$ $PROTI$

\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _ {2}\right]dV=\maz _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \ mathbf {H} _{1}\right]\cdot \mathbf {dS} .

Toto tvrzení lze formulovat i v diferenciální formě (podle Gauss-Ostrogradského věty ) [1] :

\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \ vlevo[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\vpravo].

Daná zobecněná podoba výpisů bývá pro řadu speciálních případů zjednodušená. Zejména se obvykle předpokládá, že a jsou lokalizovány (to znamená, že každá z těchto funkcí má kompaktní podporu ) a že amplituda vln v nekonečnu je nulová. V tomto případě se plošný integrál rovná nule a lemma se stává: ${\displaystyle \mathbf {J} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{2))$

\int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,dV=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2 }\,dV.

Tento výsledek se někdy nazývá Rayleigh-Carsonova věta . Často se vzorec ještě zjednoduší, vezmeme-li v úvahu bodové dipólové zdroje. V tomto případě integrál zmizí a výsledkem je jednoduše součin elektrického pole a odpovídajícího dipólového momentu proudů. U zanedbatelných tenkých vodičů zase dostanete součin proudu v jednom vodiči vynásobený napětím ve druhém a naopak.

V jiném konkrétním případě, kdy svazek zcela obsahuje oba lokalizované zdroje (nebo neobsahuje-li žádný ze zdrojů), se lemma stává: $PROTI$ $PROTI$

\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {dS} =\oint _{S}(\mathbf {E } _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {dS} .

Viz také

Literatura

Landau L. D., Lifshitz E. M. Elektrodynamika spojitých médií. - M .: Gostekhizdat, 1957. - 532 s. - (Teoretická fyzika).
Ronold W. P. King . Základní elektromagnetická teorie (Dover: New York, 1963). §IV.21.
C. Altman a K. Such . Reciprocita, prostorové mapování a zvrat času v elektromagnetice (Kluwer: Dordrecht, 1991).
H.A. Lorentz . "Poyntingova věta o energii v elektromagnetickém poli a dvě obecná tvrzení týkající se šíření světla," (nedostupný odkaz) Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 str. 176 (1896).
RJ Potton . "Reciprocity in optics", Reports on Progress in Physics 67 , 717-754 (2004). (Přehledový článek o historii tohoto tématu.)
JR Carson . "Zobecnění reciproční věty" Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Také JR Carson, "Věta o reciproční energii", tamtéž . 9 (4), 325-331 (1930).
Ano. N. Feld . "O kvadratickém lemmatu v elektrodynamice" Sov. Phys-Dokl. 37 , 235-236 (1992).
C.-T. Tai . "Doplňkové teorémy reciprocity v elektromagnetické teorii" IEEE Trans. Podpěra antén. 40 (6), 675-681 (1992).
Wolfgang KH Panofsky a Melba Phillips. Klasická elektřina a magnetismus. (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962).

Poznámky

↑ Semenov N.A. Lorentzovo lemma. Věty o reciprocitě // Technická elektrodynamika . - Moskva: "Komunikace", 1973. - S. 150. - 480 s.