Mertensovy věty

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. dubna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Mertensovy teorémy jsou tři výsledky z roku 1874 týkající se hustoty prvočísel , dokázané Franzem Mertensem [1] . Název „Mertensův teorém“ může také odkazovat na jeho teorém v analýze .

V teorii čísel

Níže znamená všechna prvočísla nepřesahující n . $p\leqslant n$

Mertensova první věta :

\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

nepřesahuje 2 v absolutní hodnotě pro žádný . (sekvence A083343 v OEIS ) $n \geqslant 2$

Druhá Mertensova věta :

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM\right)=0,

kde M je Meissel-Mertensova konstanta (sekvence A077761 v OEIS ). Přesněji Mertens [1] dokázal, že výraz v závorkách nepřesahuje v absolutní hodnotě

{\frac {4}{\ln(n+1)))+{\frac {2}{n\ln n))

pro jakýkoli . $n \geqslant 2$

Třetí Mertensova věta :

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

kde γ je Euler-Mascheroniho konstanta (sekvence A001620 v OEIS ).

Změna znaménka

V Robinově práci [2] o stupni růstu funkce součtu dělitelů publikované v roce 1983 Guy Robin dokázal, že v druhé Mertensově teorému je rozdíl

\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM

změny znamenají nekonečně mnohokrát a ve třetí Mertensově větě rozdíl

\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }

také mění znaménko nekonečně mnohokrát. Robinovy výsledky jsou podobné známé Littlewoodově větě , že rozdíl mění znaménko nekonečně mnohokrát. Pro 2. a 3. Mertensovu větu není známa žádná analogie Skewesova čísla (horní hranice pro první přirozené číslo x , pro které ). $\pi(x)-li(x)$ $\pi (x)>li(x)$

Druhá Mertensova věta a věta o prvočísle

Pokud jde o asymptotický vzorec, Mertens ve svém článku poukazuje na „dvě kuriózní Legendreovy formule“ [1] , přičemž první je prototypem druhé Mertensovy věty (a druhá prototypem třetí Mertensovy věty – viz první řádky teorému). článek). Poukazuje na to, že vzorec je obsažen ve třetím vydání Legendrovy Théorie des nombres (1830; ve skutečnosti ji zmínil ve druhém vydání, 1808), a že propracovanější verzi dokázal Čebyšev v roce 1851 [3] . Všimněte si, že již v roce 1737 znal Euler asymptotické chování tohoto součtu [4] .

Mertens diplomaticky popisuje svůj důkaz jako přesnější a důslednější. Ve skutečnosti žádný z předchozích důkazů není přijatelný moderními standardy – Eulerovy výpočty zahrnují nekonečno (hyperbolický logaritmus nekonečna a logaritmus logaritmu nekonečna!), Legendreovy argumenty jsou heuristické a Chebyshevův důkaz, i když je bezchybný, spoléhá na Legendre -Gaussova domněnka, která byla prokázána až v roce 1896 a poté se stala známou jako teorém o prvočíslech .

Mertensův důkaz neodkazuje na žádnou neprokázanou domněnku (v roce 1874) a využívá elementární reálnou analýzu. Důkaz byl publikován 22 let před prvním důkazem věty o prvočíslech, která se na rozdíl od Mertensova důkazu opírá o pečlivou analýzu chování Riemannovy zeta funkce jako funkce komplexní proměnné. Mertensův důkaz je v tomto ohledu pozoruhodný. Navíc v moderní notaci to dává

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

s přihlédnutím k faktu, že je možné ukázat ekvivalenci věty o rozdělení prvočísel (v její nejjednodušší podobě bez odhadu chyb) k vzorci [5]

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

V roce 1909 Landau pomocí dokonalejší verze věty o rozdělení prvočísel dokázal [6] , že

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14)))

Zejména je chyba menší než u jakéhokoli pevného celého čísla k . Jednoduché sčítání po částech s použitím nejsilnější formy věty o prvočísle zlepšuje vzorec na ${\displaystyle 1/(\log x)^{k))$

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}( \log \log x)^{-1/5}})

pro některé . $c>0$

V teorii sumability

V teorii sumace , Mertensova věta říká, že pokud je to skutečná nebo komplexní nekonečná řada

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

konverguje k A a další řadě

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

konverguje absolutně k B , pak jejich Cauchyho součin konverguje k AB .

Poznámky

↑ 1 2 3 Mertens, 1874 , str. 46–62.
↑ Robin, 1983 , str. 233–244.
↑ Čebyčev, 1851 , str. 141–157.
↑ Euler, 1737 , str. 160–188.
↑ I když zde tato ekvivalence není například výslovně zmíněna, lze ji snadno odvodit z materiálu v kapitole I.3 knihy G. Tenenbauma ( Tenenbaum 1995 )
↑ Landau, 1909 .

Literatura

Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie // J. reine angew. Matematika.. - 1874. - T. 78 .
Robin G. Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs // Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Pokrok v matematice. - 1983. - T. 38 .
Tchebychev P.L. - 1851. - T. VI .
Leonhard Euler. Variae viewses circa series infinitas // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Tenenbaum G. Úvod do analytické a pravděpodobnostní teorie čísel / CB Thomas (Přeloženo z druhého francouzského vydání, 1995). - Cambridge: Cambridge University Press, 1995. - V. 46. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics).
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Lipsko: Teubner, 1909. Repr. Chelsea New York 1953, § 55, str. 197-203.
V. I. Zenkin. Rozdělení prvočísel. Elementární metody. Kaliningrad, 2008.

Čtení pro další čtení

Prahar K. Rozdělení prvočísel. — M.: Mir, 1967.

Yaglom A.M. , Yaglom I.M. Neelementární úlohy v elementární prezentaci. - M.: Gostekhizdat, 1954.Úkoly 167, 169, 170

Odkazy

Weisstein, Eric W. Mertens Constant (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Sondow, Jonathan a Weisstein, Eric W. Mertens Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Mertens' Second Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .