Grothendieck topologie

Topologie Grothendieck je struktura na kategorii , díky níž její objekty vypadají jako otevřené množiny topologického prostoru . Kategorie spolu s topologií Grothendieck se nazývá situs [1] nebo site [2] .

Grothendieckovy topologie axiomatizují definici otevřeného krytu , což umožňuje definovat svazky do kategorií a jejich cohomologii , což jako první provedl Alexander Grothendieck pro etalovou cohomologii schémat .

Existuje přirozený způsob, jak spojit topologický prostor s topologií Grothendieck, v tomto smyslu to lze považovat za zobecnění obvyklých topologií . Zároveň je u velké třídy topologických prostorů možné obnovit topologii z její Grothendieck topologie, ale u antidiskrétního prostoru tomu tak není .

Definice

Motivace

Klasická definice svazku začíná nějakým topologickým prostorem . Je spojena s kategorií , jejíž objekty jsou otevřené množiny topologie, a množina morfismů mezi dvěma objekty se skládá z jednoho prvku, pokud je první množina vložena do druhého (tato zobrazení se nazývají otevřená vložení), a jinak je prázdná. Poté je presheaf definován jako kontravariantní funktor do kategorie množin a svazek je definován jako presheaf splňující axiom lepení . Axiom lepení je formulován z hlediska bodového pokrytí, to znamená, že pokrývá tehdy a jen tehdy, když . Topologie Grothendieck nahrazují každou celou rodinou otevřených sad; přesněji je nahrazena rodinou otevřených příloh . Takové rodině se říká síto . $X$ $VŮL)$ $\{U_{i}\}$ $U$ $\bigcup {_{i}}U_{i}=U$ $U_{i}$ $U_{i}$ $V_{ij}\to U_{i}$

Síto

Jestliže je libovolný objekt kategorie , pak mřížka je subfunktorem funktoru . V případě kategorie , síto na otevřené množině je nějaká rodina otevřených podmnožin , uzavřená operací převzetí otevřené podmnožiny. Libovolná otevřená množina , pak je podmnožinou , respektive je prázdná, pokud - není podmnožinou , a může se jinak skládat z jednoho prvku; pokud je neprázdný, můžeme předpokládat, že byl vybrán sítem. Jestliže je podmnožinou , pak existuje morfismus , takže pokud není prázdný, pak také není prázdný. $C$ ${\mathcal C}$ $C$ $\mathrm {Hom} (-,c)$ $VŮL)$ $S$ $U$ $U$ $PROTI$ $S(V)$ $\mathrm {Hom} (V,U)$ $PROTI$ $U$ $PROTI$ $W$ $PROTI$ $S(V)\to S(W)$ $S(V)$ $S(W)$

Axiomy

Topologie Grothendieck na kategorii je volba pro každý objekt kategorie množiny mřížek na , označené . Prvky se nazývají krycí mřížky na . Zejména síto na otevřené sadě je krycí tehdy a jen tehdy, když spojení všech , takové, které není prázdné, je all . Tato volba musí splňovat následující axiomy: $J$ ${\mathcal C}$ $C$ ${\mathcal C}$ $C$ $J(c)$ $J(c)$ $C$ $S$ $U$ $PROTI$ $S(V)$ $U$

změna báze: jestliže je krycí síto na a je morfismus, pak inverzní obraz síta při působení ( ) je krycí síto na . $S$ $X$ $f:Y\to X$ $F$ $f\ast S$ $Y$
místní charakter: jestliže je krycí síto na , je libovolné síto na , a pro každý předmět a každý morfismus patřící do je inverzní obraz síta krycí síto na , potom je krycí síto na . $S$ $X$ $T$ $X$ $Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C))$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $f\ast T$ $Y$ $T$ $X$
jednotka: — krycí síto pro jakýkoli předmět kategorie . $\mathrm {Hom} (-,X)$ $X$ $X$ ${\mathcal C}$

Výměna základny odpovídá myšlence, že když kryty , tak kryty . Místní charakter odpovídá tomu, že pokud kryty a kryty pro každého , pak všechny kryty . Konečně jeden odpovídá skutečnosti, že každá množina může být pokryta sjednocením všech jejích podmnožin. $\{U_{i}\}$ $U$ $\{U_{i}\cap V\}$ $U\cap V$ $\{U_{i}\}$ $U$ ${\displaystyle \{V_{ij}\))$ $U_{i}$ $i$ ${\displaystyle \{V_{ij}\))$ $U$

Umístění a svazky

V kategorii lze definovat svazek pomocí axiomu lepení. Ukazuje se, že svazek lze definovat v jakékoli kategorii pomocí Grothendieck topologie: svazek na místě je svazek takový, že pro jakýkoli objekt a krycí síto na přirozené mapě vyvolané vnořením do Hom(−, X ) je bijekce. Morfismus mezi svazky, stejně jako morfismus mezi svazky, je přirozenou transformací funktorů. Kategorie všech snopů na místě se nazývá Grothendieck topos . Snopy, abelovské skupiny, prstence, moduly a další struktury jsou definovány podobně. $VŮL)$ $({\mathcal {C)),J)$ $F$ $X$ $S$ $X$ $\mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,X),F)\to \mathrm {Hom} (S,F)$ $S$

Pomocí Yonedova lemmatu lze dokázat, že svazek v takto definované kategorii se shoduje se svazkem v topologickém smyslu. $VŮL)$

Příklady situ

Diskrétní a antidiskrétní topologie

Diskrétní topologie na libovolné kategorii je dána prohlášením všech sít za otevřená. Chcete-li specifikovat antidiskrétní topologii, pouze síta formuláře by měla být považována za otevřená . V antidiskrétní topologii je každý předsvazek svazkem. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X)$

Kanonická topologie

Kanonická topologie na libovolné kategorii je nejjemnější topologií , takže všechny reprezentovatelné předsvazky (funktory formulářejsou svazky. Topologie, která je méně tenká (tj. topologie taková, že jakýkoli reprezentovatelný předsvazek je svazek) se nazývá subkanonická Většina topologií, se kterými se v praxi setkáváme, je subkanonická. ${\mathcal C}$ $\mathrm {Hom} (-,X))$

Malý a velký situs spojený s topologickým prostorem

Pro srovnání topologického prostoru malého místa jsou v kategorii krytiny deklarovány taková síta , že spojení všech takových, které jsou neprázdné, se shoduje se všemi . $VŮL)$ $S$ $PROTI$ $S(V)$ $U$

Síto na kategorii topologických prostorů se nazývá krycí síto, pokud jsou splněny následující podmínky: $S$ $\mathbf {Top}$

pro všechny a morfismy patřící k , existuje předmět a šipka taková, že je otevřeným vložením, patří a prochází skrz ; $Y$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $PROTI$ $g:V\to X$ $G$ $G$ $S(V)$ $F$ $G$
pokud je unie , kde prochází , pak . $W$ $f(Y)$ $f:Y\to X$ $S(Y)$ $W=X$

Pro kategorii čárky topologických prostorů nad pevným topologickým prostorem je topologie indukována kategorií . Výsledná kategorie se nazývá velký situs spojený s topologickým prostorem . $X$ $\mathbf {Top}$ $X$

Topologie na kategorii obvodů

Funktory mezi situsy

Poznámky

↑ R. Goldblatt. Topoi. Kategorická analýza logiky. - M .: Mir, 1983. - 487 s.
↑ P. Johnston. Teorie topoi. — M .: Nauka, 1986. — 440 s.

Literatura

Artin, Michael. Grothendieck topologie - Harvard University, Dept. matematiky, 1962.
Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - sv. 1 (Poznámky z přednášky z matematiky 151). — Berlín; New York: Springer-Verlag, 1970. P. xv+564.
Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - sv. 1 (Poznámky z přednášky z matematiky 269). — Berlín; New York: Springer-Verlag, 1972. P. xix+525.