Řešení Einsteinových rovnic

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Řešení Einsteinovy rovnice znamená nalezení tvaru metrického časoprostorového tenzoru. Úkol je zadán nastavením okrajových podmínek , souřadnicových podmínek a zápisem tenzoru energie-hybnosti , který dokáže popsat jak bodově masivní objekt, distribuovanou hmotu nebo energii, tak celý Vesmír jako celek. Podle tvaru tenzoru energie-hybnosti lze řešení Einsteinovy rovnice rozdělit na vakuová, polní, distribuovaná, kosmologická a vlnová řešení. Existují i čistě matematické klasifikace řešení založené na topologických či algebraických vlastnostech jimi popisovaného prostoročasu, nebo například na algebraické symetrii Weylova tenzoru daného prostoru ( Petrovova klasifikace ). $g_{\mu \nu }$ $T_{\mu \nu }$

Klasifikace podle zaplnění prostoru

Tato klasifikace je založena na formě tenzoru energie-hybnosti a lze zde rozlišit několik typů řešení: $T_{{\alpha \beta }}$

Vakuové roztoky - takové roztoky se získají, pokud:

T_{\alpha \beta }=0.

Einsteinovy rovnice jsou tedy redukovány na:

G_{\alpha \beta }+\Lambda g_{\alpha \beta }=0

nebo

R_{\alpha \beta }=\Lambda g_{\alpha \beta }.

V matematice se taková řešení nazývají Einsteinovy prostory a jejich studiu se v rámci Riemannovy a pseudoriemannovské geometrie věnuje mnoho prací.

Nejjednodušším z těchto řešení je Minkowského časoprostor, který popisuje absolutně prázdný prostor bez kosmologické konstanty. Tato řešení mohou také popisovat časoprostor kolem masivního kompaktního objektu (až po jeho povrch nebo singularity). Patří sem metriky Schwarzschild , Schwarzschild-Desitter [1] , Kerr , Reissner-Nordström, Kerr-Newman, Newman-Unti-Tamburino (NUT), Taub-NUT, Kottler, Eretz-Rosen, Cuvedo a další. $\lambda=0$

Důležitou třídou takových řešení z fyzikálního hlediska jsou také vlnová řešení, která popisují šíření gravitačních vln prázdným prostorem.

Polní řešení - někdy jsou za zdroj gravitačního pole považována různá pole. V případě nehmotného pole se často bere:

elektromagnetické pole (roztoky elektrovakua generované, jak se říká, Einstein-Maxwellovými rovnicemi)

T^{\alpha \beta }={\frac {1}{4\pi }}\left(F^{\alpha }{}_{\lambda }F^{\lambda \beta }+{ \frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\right);

bezhmotné skalární pole (skalární řešení)

T^{\alpha \beta }=8\pi \left(\phi ^{;\alpha }\phi ^{;\beta }+{\frac {1}{2}}\phi _{; \mu }\phi ^{;\mu }g^{\alpha \beta }\right).

Z masivních polí se využívá skalární pole (většinou s netriviální samočinností) - tak se získávají bosonické hvězdy - nebo klasické Diracovo pole (bispinor).

Distribuovaná řešení - taková řešení popisují různé druhy látek, pro které se obvykle používá "tekutinová" aproximace: prašná, plynná nebo kapalná látka. Platnost aproximace je dána tím, že obvykle v gravitačních problémech nebeské mechaniky a astrofyziky hmota zažívá velmi velká napětí, takže se stává tekutou a neizotropii napětí v ní lze zanedbat.

Zde je tenzor konstruován pro distribuovanou hmotu (energeticko-hmotnostní pole) a lze rozlišit dvě hlavní používané reprezentace distribuované hmoty: $T_{\mu \nu }$

ideální tekutina (tekuté roztoky)

T_{\alpha \beta }=(\rho +p)u_{\alpha }u_{\beta }+pg_{\alpha \beta },

kde je interpretováno jako 4-vektor rychlosti tekutiny v daném bodě, , je hustota energie tekutiny a je její tlak, který by měl souviset se stavovou rovnicí ( je teplota tekutiny); $u^{{\alpha }}$ $u^{\alpha }u_{\alpha }=-1$ $\rho$ $p$ $p=f(\rho ,T)$ $T$

neinteragující prach (prachové roztoky) je zvláštní případ předchozího případu $p\ekviv 0$

T_{\alpha \beta }=\rho u_{\alpha }u_{\beta }.

Lze ukázat, že když se prach pohybuje, každý z jeho prvků se pohybuje po geodetické linii generované metriky.

Obecně lze provést úplnou algebraickou klasifikaci možných tenzorů druhé valence - například Einsteinův tenzor nebo energetická hybnost. Varianty takových klasifikací: Segreova tenzorová klasifikace vyvinutá pro případ čtyřrozměrného časoprostoru A. Z. Petrovem (s chybou - vynecháním jednoho z možných typů - odvozena rovněž v Landauově a Lifshitzově Teorii pole), spinor R. Penrose klasifikace. Všechny tenzory energie-hybnosti uvedené výše jsou podle těchto klasifikací algebraicky speciální.

Podle velikosti kosmologické konstanty

Řešení s jsou řešení Einsteinových rovnic bez členu lambda. $\Lambda \,=0$

Řešení s jsou řešení Einsteinových rovnic s lambda členem, jejichž přítomnost komplikuje řešení, ale umožňuje získat stacionární metriky. Nejjednodušším z těchto řešení je de Sitterova metrika. $\Lambda \,\neq 0$

Přesná a přibližná řešení

Přesná řešení

Přibližná řešení - získávají se např. nerelativistickou aproximací některých parametrů Einsteinových rovnic - postnewtonovský formalismus , nebo expanzí v malých parametrech.

Klasifikace podle času

Stacionární řešení – mají časově podobné vektorové pole Killing . Pro ně existuje inerciální vztažná soustava , kde metrický tenzor nezávisí na čase.

Statická řešení – jejich vražedné pole je časově podobné a ortogonální k rodině konstantních časoprostorových ploch. Mezi taková řešení patří Schwarzschildova metrika .
Nestatická řešení – popisují měnící se gravitační pole, ale pro ně lze najít skupinu pozorovatelů, kteří žádné změny gravitačního pole nezaznamenají. Patří mezi ně Kerrova metrika.

Nestacionární řešení

Vlnová řešení - popisují gravitační vlny.

Klasifikace podle prostorové symetrie

Izotropní řešení – jejich zakřivení se mění rovnoměrně podél libovolné osy vedené z daného bodu.

Homogenní roztoky jsou roztoky, které jsou izotropní s ohledem na kterýkoli ze svých bodů, to znamená, že mají stejné zakřivení v libovolném bodě prostoru.
Sféricky symetrická řešení - zakřivení je konstantní na plochách, které mají geometrii dvourozměrných koulí. Střed symetrie takových koulí jako skutečná časoprostorová událost nemusí vůbec existovat, jako v případě červích děr . Tato řešení se používají k popisu prostoru kolem statických černých děr , červích děr a nerotujících hvězd.

Anizotropní roztoky.

Osově symetrická řešení - křivost je konstantní na přímkách, které mají geometrii kružnic navzájem rovnoběžné. Vzhledem k existenci událostí samotné osy symetrie lze vybrat bod na ní a říci, že zakřivení závisí jak na vzdálenosti k tomuto bodu, tak na polárním úhlu (ve sférických souřadnicích). Tato řešení lze přirovnat k rotujícím černým dírám, hvězdám, galaxiím .
Zrcadlově symetrická řešení - jejich metrika je symetrická vzhledem k trojrozměrné rovině.
Asymetrická řešení.

Asymptotická klasifikace

Tato klasifikace je založena na chování roztoku ve světelném nekonečnu.

Asymptoticky plochá řešení - taková řešení obvykle vznikají při nulové kosmologické konstantě a kompaktním nosiči tenzoru energie-hybnosti. Na světelných nekonečnech (nebo alespoň na jejich částech) takový časoprostor poměrně rychle tíhne k plochému Minkowského prostoru. Tato řešení jsou z fyzikálního hlediska velmi důležitá, protože s dobrou aproximací popisují ostrovní systémy - osamocené systémy astronomických těles, jako jsou černé díry, planetární systémy, více hvězd a dokonce i galaxie.

Pro taková řešení umožňuje skupina asymptotických časoprostorových symetrií (Bondi-Metzner-Sachsova skupina) určit zakonzervovaný 4-vektor energie-hybnost a vypočítat přechod energie systému na gravitační záření.

Kosmologická řešení jsou základem fyzikální kosmologie . Popisují strukturu a vývoj vesmíru , o kterém se předpokládá, že je přibližně homogenní a izotropní . Taková řešení jsou klasifikována jako distribuovaná , protože se obvykle předpokládá, že prachová hmota z prachových částic-galaxií je umístí do současné fáze vývoje vesmíru.

Nyní je všeobecně uznávaným základním kosmologickým řešením popisujícím vývoj Vesmíru „jako celku“ řešení Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker [2] [3] [4] . Dříve se uvažovalo i o jiných řešeních – o metrikách Einsteina, Lemaitra, Eddingtona.

Uzavřená řešení - v principu Einsteinovy rovnice jako lokální rovnice slabě omezují globální topologii řešení, která je dána počátečními podmínkami. Je tak možné konstruovat řešení rovnic i pro vysoce patologické případy topologie. Nejjednodušším příkladem by byl Minkowského prostor složený do torusu identifikací nadrovin a v libovolném počtu dimenzí, dokonce i v čase. $x^{\alpha }=0$ $x^{\alpha }=x_{0}^{\alpha }$

Přesto některá omezení Einsteinovy rovnice stále ukládají, například prostor konstantního kladného skalárního zakřivení musí být nutně uzavřen.

Klasifikace podle izotropních kongruencí (Petrovova klasifikace)

Novikovův princip sebekonzistence

Novikov princip sebekonzistence je princip navržený k vyřešení paradoxů spojených s cestováním v čase , teoreticky povolený některými řešeními Einsteinových rovnic, umožňující existenci uzavřených časových linií .

Viz také

Matematická formulace obecné teorie relativity
Obecná teorie relativity
Projekt:Fyzika/Seznamy/Seznam slavných relativistických vědců
Einsteinovy rovnice

Poznámky

↑ Wikipedie má článek Schwarzschildovo řešení nebo Schwarzschildova metrika
↑ Friedman-Lemaitre-Robertson-Walkerova metrika .
↑ Georges Lemaitre .
↑ Fridman, Alexandr Alexandrovič .

Literatura

Přesná řešení Einsteinových rovnic. Ed. E. Schmutzer M.: Energoizdat, 1982. - 416 s.
Hawking , Ellis Rozsáhlá struktura časoprostoru.
JA Wheeler. Gravitace / JA Wheeler, C. Misner, K. S. Thorne. - W. H. Freeman & Co, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
JA Wheeler. Gravitace a setrvačnost / JA Wheeler, I. Ciufolini. - Princeton University Press , 1995. - ISBN 978-0-691-03323-5 .
RJA Lambourne. Relativita, gravitace a kosmologie. - The Open University, Cambridge University Press, 2010. - ISBN 978-0-521-13138-4 .