Ultrafinitismus

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. srpna 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Ultrafinitismus (také známý jako ultraintuicionismus [1] , přísný formalismus [2] , přísný finitismus [2] , aktualismus [1] , predikativismus [2] [3] a silný finitismus ) [2]  je extrémní forma finitismu , projevující se v řada matematických a filozofických a matematických konceptů a teorií. Společné pro všechny formy matematického finitismu je odmítnutí použít intuitivně pochybnou abstrakci skutečného nekonečna, například nekonečnou množinu přirozených čísel jako kompletní, dokončenou v konstrukci objektu; ultrafinitismus naproti tomu popírá nebo považuje potenciální nekonečno, tedy možnost konstruovat libovolně velké konstruktivní objekty, za abstrakci s malým obsahem; v důsledku toho je například popřena použitelnost aritmetických operací na všechna přirozená čísla.

Pozadí

Ultrafinitismus pokračuje v tradicích filozofického finitismu , který byl velmi běžný ve starověkém světě a ve středověku, zejména díky autoritě Aristotela , který popíral skutečnou nekonečnost. V moderní době v matematice je formování těchto názorů spojeno se vznikem naivní teorie množin Georga Cantora , který volně operoval s aktuálními nekonečny, což vedlo k objevu řady paradoxů . Pokusy odstranit paradoxy a dokázat konzistentnost matematiky vedly zase ke vzniku a formování řady nových matematických směrů - Hilbertova finitismu , formalismu , logicismu , intuicionismu a konstruktivismu . Po vzniku axiomatické teorie množin , která odstranila hlavní paradoxy teorie množin , se ve výuce matematiky stal dominantním přístup teorie množin [4] , nicméně konstruktivismus jako samostatná oblast matematiky byl zachován a smysluplně rozvíjen. Názory ultrafinitistických matematiků lze považovat za pokračování a extrémní formu konstruktivismu.

Argument

Ultrafinitismus popírá přijatelnost konečných matematických objektů, jejichž konstrukční algoritmus existuje, ale které jsou tak velké, že tento algoritmus nelze implementovat kvůli fyzikálním omezením. V souladu s tím je rovněž popřena smysluplnost operací s takovými objekty. Jestliže Hilbertův finitismus a konstruktivismus odmítají abstrakci skutečného nekonečna, pak ultrafinitismus odmítá uvažovat o objektech, které jsou „prakticky“ nekonečné. Zejména je popřena existence celé části prvního Skewesova čísla :

s odůvodněním, že toto přirozené číslo nikdo nedokázal spočítat a je nepravděpodobné, že je to v zásadě možné. K zaznamenání Skewesova čísla je totiž zapotřebí přibližně desetinných míst, což je podstatně více než počet elementárních částic v pozorovatelné části Vesmíru, protože jich už není více [5] .

Tato argumentace se však odvolává na zdravý rozum a je spíše fyzikální a filozofická než matematická. V tomto smyslu je zajímavá diskuse kolem knihy akademika-fyzika Zel'doviče „Vyšší matematika pro začátečníky a její aplikace ve fyzice“, kterou z hlediska klasické matematiky ostře a spravedlivě kritizoval akademik-matematik Pontrjagin . Například Zel'dovichova definice derivace jako poměru „dostatečně malých přírůstků“ nejen popírá nutnost přejít na limitu, ale není vůbec matematickou definicí. Akademický matematik a částečně fyzik Arnold našel pádný argument pro obranu [6] :

Kniha začala šokující definicí derivátu jako poměru přírůstků „za předpokladu, že jsou dostatečně malé“ [7] . Tato definice „fyzicky“, z hlediska ortodoxní matematiky rouhavá, je samozřejmě zcela oprávněná, protože přírůstky fyzikální veličiny menší než řekněme 10 −100 jsou čirou fikcí – strukturou prostoru a času na takovém stupnice se mohou ukázat jako velmi vzdálené od matematického kontinua.

Arnoldova argumentace má formu předpokladu, ale může být doplněna nezpochybnitelným faktem, že například diferenciální rovnice pro vedení tepla v takových měřítcích je nesmyslná, protože teplota je výsledkem zprůměrování energií molekul. Klasická definice derivace je v tomto případě neudržitelná kvůli absenci limity. Ale rovnice umožňuje vysoce přesné výpočty, protože Zel'dovichova definice funguje.

Výrazného pokroku v konstrukci zcela „konečné“ matematiky dosáhl tvůrce alternativní teorie množin   Piotr Vopenka [8] [9] . Ultrafinitismus se však na rozdíl od konstruktivismu nestal v matematice plnohodnotným trendem a zůstává především filozofií některých matematiků. Konstruktivistický logik Anne Sherp Troelstra ve své fundamentální recenzi „Constructivism in Mathematics (1988)“ [10] poznamenal „nedostatek uspokojivého rozvoje“ v tom smyslu, že prostě neexistují žádné odpovídající práce o matematické logice .

Výzkumníci spojení s ultrafinitismem

Yesenin-Volpin v roce 1962 publikoval program pro konstrukci základů ultrafinitistické matematiky [11] . Mezi matematiky, kteří publikovali články na téma ultrafinitismus nebo veřejně vyjádřili své blízké názory, patří také Doron Zeilberger , Eduard Nelson , Rohit Jivanlal Parikh a Jean-Paul van Bendegem , Piotr Wopenka, Robin Gandy .

Někteří matematici nepovažují za důležité a nutné veřejně mluvit o otázkách filozofie matematiky, které pro ně nejsou zásadní, ale mohou mít velmi radikální názory. Například sovětský akademik Ya. V. Uspenskij v soukromém dopise z roku 1926 charakterizoval teorii množin jako „svinstvo Cantor-Lebesgue“. [12]

Poznámky

  1. ↑ 1 2 International Workshop on Logic and Computational Complexity, Logic and Computational Complexity , Springer, 1995, str. 31.
  2. ↑ 1 2 3 4 _ Iwan (2000), " O neudržitelnosti Nelsonova predikativismu  (nedostupný odkaz) ", Erkenntnis 53 (1-2), pp. 147-154.
  3. ↑ Nezaměňovat s Russellovým predikativismem.
  4. ↑ Akademik V. V. Arnold charakterizuje formální množinově teoretickou výuku jako „emaskulované a mrtvé“ 1 Archived 3. listopadu 2019 na Wayback Machine
  5. ↑ Mnoho tváří vesmíru Andrey Dmitrievich Linde, Stanford University (USA), profesor . Staženo 12. 5. 2015. Archivováno z originálu 10. 5. 2015.
  6. ↑ V. I. Arnold. YaB a matematika . Získáno 8. července 2019. Archivováno z originálu dne 3. listopadu 2019.
  7. ↑ Aby se tato definice stala ultrafinitisticko-matematickou, je ještě nutné ujasnit si velikost přírůstků.
  8. ↑ Vopěnka, P. Matematika v alternativní teorii množin. Teubner, Lipsko, 1979.
  9. ↑ Holmes, Randall M. Alternative Axiomatic Set Theories Archived 7 August 2019 at Wayback Machine in the Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  10. ↑ AS Troelstra, D. van Dalen. Konstruktivismus v matematice
  11. ↑ Ésénine-Volpine, AS (1961), Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques, Infinitistické metody (Proc. Sympos. Foundations of Math., Varšava, 1959) , Oxford: Pergamon, s. 201–223  Recenze Kreisel, G. & Ehrenfeucht, A. (1967), Recenze Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques od AS Ésénine-Volpine , The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic) . – T. 32 (4): 517 , DOI 10.2307/2270182 
  12. ↑ Ermolaeva N. S. Nové materiály k biografii N. N. Luzina. // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka, 1989. - č. 31 . - S. 193 .

Odkazy