Konstruktivní matematika
Konstruktivní matematika je abstraktní věda o konstruktivních myšlenkových procesech, lidské schopnosti je provádět a jejich výsledcích – konstruktivních matematických objektech. Je výsledkem rozvoje konstruktivního směru v matematice - matematického světového názoru, který na rozdíl od množinově teoretického směru považuje studium konstruktivních procesů a konstruktivních objektů za hlavní úkol matematiky. [jeden]
Za zakladatele konstruktivního směru lze považovat Davida Hilberta po jeho neúspěšném pokusu podložit množinovou teoretickou matematiku na základě konstruktivní matematiky. Jedním ze zakladatelů vlastní konstruktivní matematiky je sovětský vědec Andrej Markov .
Abstrakce konstruktivní matematiky
Abstraktnost konstruktivní matematiky se projevuje v systematickém uplatňování dvou hlavních rušivých vlivů: abstrakce identifikace a abstrakce potenciální proveditelnosti neboli potenciální nekonečnosti.
Abstrakce identifikace se používá, když se o dvou identických předmětech v tom či onom smyslu mluví jako o jednom a tomtéž předmětu.
Abstrakce potenciální proveditelnosti (potenciální nekonečno) se používá, když je design abstrahován od praktických omezení v prostoru, čase a materiálu. Přípustnost této abstrakce odlišuje konstruktivismus od ultrafinitismu .
Konstruktivní matematika odmítá abstrakci skutečného nekonečna používanou v matematice teorie množin , která je spojena s úvahou o nikdy nekončících procesech jako o nekonečně pokračujících, a tedy jakoby dokončených. [jeden]
Hlavní předměty úvahy
Pojmy konstruktivní proces a konstruktivní objekt nemají společnou definici. Různé teorie konstruktivní matematiky se mohou zabývat konstruktivními objekty různého konkrétního druhu (celočíselné matice, polynomy s racionálními koeficienty atd.). Může však být specifikováno několik typů konstruktů, které jsou schopné modelovat jakékoli jiné známé konstrukty (a tedy schopné být v určitém smyslu považovány za generické konstrukty). Taková jsou zejména slova v různých abecedách.
Vlastnosti logiky konstruktivní matematiky
Charakteristickým rysem konstruktivních předmětů je skutečnost, že neexistují věčně. Rodí se v důsledku nasazení některých konstruktivních procesů a poté (z různých důvodů) mizí. Algebraický výraz napsaný křídou na tabuli nebyl na této tabuli vždy - a bude na ní existovat přesně do okamžiku, kdy bude vymazán. Tabulka uložená na pevném disku osobního počítače také zjevně neexistovala před okamžikem výroby tohoto disku - a také bude dříve nebo později zničena (buď v důsledku přeformátování, nebo v důsledku selhání disku).
V souvislosti s tím, co bylo řečeno, je v konstruktivní matematice „existence“ konstruktivního objektu chápána jako jeho potenciální proveditelnost – to znamená, že máme k dispozici metodu, která nám umožňuje reprodukovat tento objekt libovolný počet opakování. . Takové chápání se ostře rozchází s chápáním existence objektu, akceptovaným v matematice teorie množin . V teorii množin nenachází fakt neustálého zrodu a mizení konstruktivních objektů žádné vyjádření: z jejího pohledu jsou pohyblivé reálné objekty pouze „stíny“ statických „ideálních objektů“, které věčně existují v jakémsi fantazijním světě (a pouze tyto „ideální objekty“ by měly být údajně brány v úvahu v matematice).
Chápání existence objektu jako potenciální proveditelnosti vede k tomu, že logické zákony fungující v konstruktivní matematice se ukazují být odlišné od těch klasických. Zejména zákon vyloučeného středu ztrácí svou univerzální platnost . Formule, je- li chápána konstruktivně, skutečně vyjadřuje tvrzení
"mezi vzorci a potenciálně proveditelné pravdivé" ,
klasická derivace disjunkce však neposkytuje žádný způsob, jak zkonstruovat její správný termín. Podobně logické vyvrácení předpokladu, že jakýkoli konstruktivní objekt uvažovaného druhu má nějakou vlastnost – v matematice množin považovanou za dostatečný důvod pro uznání objektu s touto vlastností jako „existujícího“ – nemůže samo o sobě sloužit jako důvod pro uznání objektu s vlastností jako potenciálně realizovatelný. Je však třeba poznamenat, že za takovými logickými vyvráceními je stále uznávána určitá heuristická hodnota (protože neposkytují žádný způsob, jak zkonstruovat požadovaný objekt, přesto naznačují smysluplnost pokusů o takovou konstrukci). Nekonstruktivní objekty, u kterých bylo možné prokázat jejich „existenci“ v rámci klasické logiky, se běžně nazývají kvazi proveditelné .
Rozdíl mezi koncepty potenciálně realizovatelného a kvazirealizovatelného konstruktu se stává zvláště důležitým při zvažování obecných tvrzení o existenci. Opravdu, soud
„pro jakýkoli konstruktivní objekt uvažovaného typu můžeme potenciálně implementovat konstruktivní objekt , který je ve vztahu k objektu “
znamená, že máme k dispozici jedinou obecnou metodu ( algoritmus ) pro zpracování objektu na objekt jemu odpovídající . Proto může být takový rozsudek záměrně nesprávný, i když je rozsudek správný.
„pro jakýkoli konstruktivní objekt uvažovaného typu je konstruktivní objekt , který je ve vztahu k objektu , kvazirealizovatelný “ .Některé specifické teorie konstruktivní matematiky
Konkrétní matematické teorie vyvinuté v rámci konceptů konstruktivní matematiky mají řadu významných odlišností od odpovídajících teorií teorie množin.
Například hlavní koncept matematické analýzy - koncept reálného čísla - je zaveden v tradiční verzi teorie na základě obecné představy o množině . Pro konstruktivní matematiku, která vyžaduje, aby uvažování bylo omezeno na konstruktivní objekty, je tento způsob definování pojmu reálné číslo nepřijatelný. Reálná čísla jsou v něm obvykle chápána jako záznamy algoritmů , které zpracují libovolné přirozené číslo na nějaké racionální číslo a splňují podmínku
Takové záznamy jsou konstruktivními objekty a mohou být brány v úvahu v konstruktivní matematice. Jako obvykle, dvě reálná čísla a jsou považovány za stejné, pokud je podmínka
Je třeba poznamenat, že problém rozpoznání rovnosti dvou libovolných reálných čísel je algoritmicky neřešitelný , a proto při konstruktivním chápání matematických úsudků tvrzení
"jakákoli dvě reálná čísla jsou buď stejná, nebo nestejná"se ukáže jako nepravdivé. V souladu s tím se množinová myšlenka atomicity kontinua (jeho vlastnost z bodů jasně oddělených od sebe - vlastně nekonečná množina skutečně nekonečných objektů) nepřenáší do konstruktivní matematiky.
Mnoho tvrzení množinové analýzy v konstruktivní analýze je vyvráceno příklady. Takovými jsou zejména věta o konvergenci monotónní ohraničené posloupnosti a Heine-Borelovo lemma o volbě krytí. Řadu dalších tvrzení množinové analýzy lze přenést do konstruktivní matematiky pouze tehdy, je-li „existence“ požadovaného objektu chápána jako kvazi proveditelnost (spíše než potenciální proveditelnost). Takovými jsou věta o reprezentaci reálných čísel systematickými zlomky a věta o nule spojité funkce se znaménkovou proměnnou.
Na druhé straně konstruktivní analýza dokazuje řadu tvrzení, která nemají analogie v teorii množin. Jedním z nejvýraznějších příkladů je zde teorém G.S. Tseitina o kontinuitě jakéhokoli zobrazení z oddělitelného metrického prostoru do metrického prostoru. Z této věty zejména vyplývá, že jakékoli zobrazení metrických prostorů je Heineho spojité. Je třeba poznamenat, že existují příklady zobrazení z neoddělitelných prostorů, která nejsou spojitá Cauchy . V konstruktivní matematice tak platí tvrzení o ekvivalenci kontinuity zobrazení podle Cauchyho a podle Heineho, které je dokázáno v klasické analýze založené na použití silných množinově teoretických prostředků (zejména axiomu volby ) . , lze vyvrátit na příkladech.
Viz také
Poznámky
- ↑ 1 2 Matematický encyklopedický slovník . - M .: "Sovy. encyklopedie“ , 1988. - S. 847 .
Literatura
- Markov A. A. Vybraná díla. —M.: Nakladatelství MTSNMO, 2003. — T. II. Teorie algoritmů a konstruktivní matematika, matematická logika, informatika a související problémy. — 626 s. —ISBN 5-94057-113-1.
- Markov A. A. , Nagorny N. M. Theory of Algorithms. - 2. vyd. - M. : FAZIS, 1996.
- Nagorny N. M. Abstrakce aktuálního nekonečna, Abstrakce identifikace, Abstrakce potenciální proveditelnosti // Mathematical Encyclopedia : [v 5 svazcích] / Ch. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1977. - T. 1: A - G. - S. 43, 44. - 1152 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
- Kushner B. A. Přednášky o konstruktivní matematické analýze. —M.: Nauka, 1973. — 447 s.
- Kushner B. A. Konstruktivní matematika, Matematická encyklopedie. - M. : Sovětská encyklopedie, 1979. - T. 2. - 1042 s.
- Kondakov N. I. Logický slovník-příručka. — M .: Nauka, 1975. — 259 s.
- Ruzavin G. I. O povaze matematických znalostí. - M .: Myšlenka, 1968. - 302 s.
- Akimov O. E. Diskrétní matematika: logika, grupy, grafy. - 2. vyd. - M. : "Laboratoř základních znalostí", 2003. - 376 s.
- JH Nepeyvoda . Konstruktivní směr // Nová filozofická encyklopedie : ve 4 svazcích / předchozí. vědecky vyd. rada V. S. Stepina . — 2. vyd., opraveno. a doplňkové - M . : Myšlenka , 2010. - 2816 s.
 Slovníky a encyklopedie | |
|---|---|
| V bibliografických katalozích |
| Logika | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Filosofie • Sémantika • Syntaxe • Historie | |||||||||
| Logické skupiny |
| ||||||||
| Komponenty |
| ||||||||
| Seznam booleovských symbolů | |||||||||