Bethe-Salpeterova rovnice , pojmenovaná po H. Bethe a E. Salpeterovi , popisuje vázané stavy dvoučásticového systému kvantového pole v relativisticky kovariantní formě . Rovnice byla poprvé publikována v roce 1950 na konci článku Yoichiro Nambu , ale bez odvození. [jeden]
Hlavní metodou řešení problémů s interakcí je nepochybně teorie poruch, ale není to zdaleka jediná metoda. Existují takzvané neporuchové metody a jedna z nich vede k Bethe-Salpeterově rovnici. Je uvažován systém dvou spřažených fermionů . Ve volné teorii, jak je známo, pro vlnovou funkci jedné částice (kde je spinor index ) je propagátor definován takto:
,Zde používáme zápis pomocí "přeškrtnutých matic" , - 4-vektor vnější normály . Integrace se provádí přes povrch objemu, který zahrnuje událost , . Feynmanův propagátor. V případě neinteragujících částic je definována jako řešení následující rovnice [2] :
,Podobně jako propagátor pro jednočásticovou vlnovou funkci lze definovat propagátor pro dvoučásticovou vlnovou funkci následujícím výrazem:
,Zde je spinor se dvěma spinorovými indexy . V případě neinteragujících částic se dvoučásticová vlnová funkce rozpadá na součin jednočásticových a propagátor na součin propagátorů:
Toto je však ten nejtriviálnější případ. Nyní „zapneme“ elektromagnetickou interakci mezi dvěma částicemi. Pokud bychom se řídili ideologií perturbační teorie, dostali bychom, podle Feynmana , je reprezentován jako:
Tím je míněn součet všech možných diagramů získaných z poruchové teorie. Hlavní myšlenkou vedoucí k rovnici je, že celý součet diagramů označujeme jako určité jádro . Diagram budeme nazývat redukovatelný, pokud se po odstranění dvou fermionických čar rozpojí. Pak to může být reprezentováno jako součet dvou příspěvků: příspěvku redukovatelných diagramů a příspěvku neredukovatelných diagramů . Lze ukázat [3] , že výraz pro lze přepsat jako:
Dosazením tohoto výrazu dostaneme Bethe-Salpeterovu rovnici:
V tomto výrazu je volná dvoučásticová vlnová funkce, to znamená vlnová funkce v nepřítomnosti interakce mezi částicemi. Tak jsme získali Fredholmovu integrální rovnici druhého druhu .
Pojďme nyní jednat podle Bethe-Salpeterovy rovnice pomocí operátorů , v platnosti dostaneme následující výraz:
Namísto integrální rovnice Fredholmova typu tedy získáme integro-diferenciální rovnici pro dvoučásticovou vlnovou funkci . Dalším možným způsobem, jak napsat Bethe-Salpeterovu rovnici, je napsat ji v prostoru hybnosti, konkrétně definujeme Fourierovu transformaci dvoučásticové vlnové funkce takto:
Samotná Fourierova transformace Bethe-Salpeterovy rovnice je zapsána takto:
Na levé straně můžete přechody převést na exponent pomocí integrace po částech . Přidáme také dvě delta funkce na pravou stranu. Dostaneme:
Pomocí impulsní reprezentace delta funkcí s primovanými proměnnými můžeme přepsat jádro na impulsní reprezentaci, konkrétně:
Pomocí toho dostaneme Bethe-Salpeterovu rovnici ve tvaru hybnosti:
Díky své obecnosti a skutečnosti, že se používá v mnoha odvětvích teoretické fyziky , lze Bethe-Salpeterovu rovnici nalézt v různých podobách. Jedna forma často používaná ve fyzice vysokých energií je:
,kde je Bethe-Salpeterova amplituda , popisuje interakci dvou částic a je jejich propagátorem .
Protože tuto rovnici lze získat identifikací vázaných stavů s póly S-matice , lze ji vztáhnout ke kvantovému popisu rozptylových procesů a Greenových funkcí .
Dokonce i pro jednoduché systémy, jako je pozitronium , rovnice nemůže být vyřešena přesně, i když v zásadě je přesně stanovena. Klasifikaci stavů lze naštěstí provést bez použití přesného řešení. Pokud je jedna částice mnohem hmotnější než druhá, pak je úloha značně zjednodušena a v tomto případě je Diracova rovnice řešena pro lehkou částici umístěnou ve vnějším potenciálu vytvořeném těžkou částicí.