Lorentzova kovariance

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. května 2020; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Lorentzova kovariance je vlastnost systémů matematických rovnic popisujících fyzikální zákony zachovat si svůj tvar při aplikaci Lorentzových transformací [1] . Přesněji řečeno, jakýkoli fyzikální zákon musí být reprezentován relativisticky invariantní soustavou rovnic, tzn. invariantní pod úplnou ortochronní nehomogenní Lorentzovou skupinou . [2] Všeobecně se uznává, že tuto vlastnost musí mít všechny fyzikální zákony a nebyly nalezeny žádné experimentální odchylky od ní. Nicméně, některé teorie[ upřesnit ] zatím nebylo možné konstruovat tak, aby platila Lorentzova kovariance .

Terminologie

Lorentzova kovariance fyzikálních zákonů

Lorentzova kovariance fyzikálních zákonů je konkretizací principu relativity (tj. postulovaného požadavku, aby výsledky fyzikálních experimentů a psaní rovnic byly nezávislé na volbě konkrétní vztažné soustavy ). Historicky se tento koncept stal vedoucím, když byl princip relativity zahrnut do rozsahu principu relativity (dříve formulovaného pomocí nikoli Lorentzovy transformace, ale Galileovy transformace ) Maxwellovy elektrodynamiky, dokonce i tehdy Lorentzovy kovariantní a neměl viditelné možnosti přepracování ke kovarianci s ohledem na Galileovské transformace, což vedlo k rozšíření požadavku Lorentzovy kovariance a na mechaniku a v důsledku toho ke změně posledně jmenované.

Lorentzovy transformace je vhodné považovat za rotace a speciální transformace ve čtyřrozměrném prostoru a k jejich popisu použít vektorovou a tenzorovou analýzu. Díky tomu záznam systémů matematických rovnic popisujících přírodní zákony ve vektorové a tenzorové formě umožňuje okamžitě určit jejich Lorentzovu kovarianci bez provedení Lorentzovy transformace. [3]

Lorentzovy invariantní veličiny

Lorentzova invariance je vlastnost nějaké veličiny, která má být zachována při Lorentzových transformacích (obvykle se myslí skalární veličina, ale existuje také aplikace tohoto termínu na 4-vektory nebo tenzory, což neznamená jejich konkrétní reprezentaci, ale „samotné geometrické objekty“ ).

Podle teorie reprezentace Lorentzovy grupy jsou Lorentzovy kovariantní veličiny kromě skalárů sestaveny ze 4-vektorů , spinorů a jejich tenzorových produktů (tensorových polí).

"Kovariance" vs "invariance"

V poslední době došlo k vytěsnění termínu Lorentzova kovariance termínem Lorentzova invariance , který se stále více aplikuje stejně na zákony (rovnice) i veličiny. . Těžko říci, zda je to již norma jazyka, nebo jde spíše o jakousi svobodu užívání. Nicméně ve starší literatuře[ co? ] byla tendence striktně rozlišovat mezi těmito pojmy: první ( kovariance ) byl používán ve vztahu k rovnicím a vícesložkovým veličinám (reprezentace tenzorů včetně vektorů a samotných tenzorů, neboť terminologická hranice mezi tenzorem a množinou jeho složky často nebyly zakresleny), což znamená konzistentní změnu složek všech veličin zahrnutých do rovnosti nebo jednoduše změnu složek různých tenzorů (vektorů) koordinovaných navzájem; druhá ( invariance ) byla aplikována jako konkrétnější na skaláry (také na skalární výrazy), což implikuje jednoduchou neměnnost velikosti.

Příklady

Skaláry

Synonymem pro slova Lorentzova-invariantní veličina ve 4-rozměrném časoprostorovém formalismu je termín skalární , který, abychom plně specifikovali zamýšlený kontext, se někdy nazývá Lorentz-invariantní skalár .

Rychlost světla ve vakuu.

Interval :

\Delta s^{2}=\eta _{{ab}}x^{a}x^{b}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}\

Vlastní čas :

s rovnoměrným pohybem:

\Delta \tau ={\sqrt {{\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}}},\,\Delta s^{2}>0

obecně:

\Delta \tau =\int d\tau ={\frac 1c}\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2}} {c^{2}}}}}dt,\ \

kde je hodnota trojrozměrné rychlosti a rozumí se, že všude

proti

(ds)^{2}>0,v<c

Akce pro masivní bezstrukturní bodovou částici o hmotnosti m :

S=mc^{2}\Delta \tau =mc\int {\sqrt {(ds)^{2}}}=mc^{2}\int {\sqrt {1-{\frac {v^{2 }}{c^{2}}}}}}dt

Invariantní hmotnost m :

m^{2}c^{2}=\eta _{{ab}}p^{a}p^{b}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_ {x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}

Elektromagnetické invarianty (z Maxwellovy teorie ):

F_{{ab}}F^{{ab}}=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)

G_{cd}F^{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c} }\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)

Vlnový operátor (d'Alembertův operátor):

\Box =\eta ^{{\mu \nu }}\částečné _{\mu }\částečné _{\nu }={\frac {1}{c^{2))}{\frac {\částečné ^ {2}}{\částečné t^{2}}}-{\frac {\částečné ^{2}}{\částečné x^{2}}}-{\frac {\částečné ^{2}}{\ částečné y^{2))}-{\frac {\částečné ^{2)){\částečné z^{2))}

(pro danou volbu signatury Minkowského metriky η se redukovaná forma operátoru shoduje s tradiční definicí d’Alembertova operátoru up to sign).

4-vektory

x^{a}=[ct,x,y,z]\

\partial _{a}=\left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t)),{\frac {\partial }{\partial x)),{\ frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z))\right]

U^{a}={\frac {dx^{a}}{cd\tau }}={\frac {1}{c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2 }}}}}\left[c,v_{x},v_{y},v_{z}\right],

kde

v_{x}={\frac {dx}{dt)),v_{y}={\frac {dy}{dt)),v_{z}={\frac {dz}{dt)),v= {\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}

p^{a}=m_{0}U^{a}=\left[{\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right]

j^{a}=[c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}]\

Tenzory

\delta _{b}^{a}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}

\eta _{{ab}}=\eta ^{{ab}}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b=0,\\-1&{\mbox{if }}a =b=1,2,3,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}

\epsilon _{abcd}=-\epsilon ^{abcd}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}\{abcd\}{\mbox{ sudá permutace }}\{0123\ },\\-1&{\mbox{if }}\{abcd\}{\mbox{ lichá permutace }}\{0123\},\\0&{\mbox{ve všech ostatních případech.}}\end{cases }}

F_{{ab))={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\- E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}

G_{{cd))={\frac {1}{2}}\epsilon _{{abcd}}F^{{ab}}={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z }\\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\\-B_{z}&- E_{y}/c&E_{x}/c&0\end{bmatrix}}

Viz také

Symetrie ve fyzice
proměna	Odpovídající invariance	Odpovídající zákon zachování
↕ Čas vysílání	Jednotnost času	…energie
⊠ C , P , CP a T - symetrie	Časová izotropie	... parita
↔ Vysílací prostor	Homogenita prostoru	…impuls
↺ Rotace prostoru	Izotropie prostoru	… hybnost
⇆ Lorentzova skupina (posílení)	Relativity Lorentzova kovariance	…pohyby těžiště
~ Transformace měřidla	Invariance měřidla	... nabít

Poznámky

↑ Einstein A. K problému relativity // Albert Einstein Sobr. vědecký tr. ve 4 svazcích - M. Nauka, 1965. - v. 1, s. třicet
↑ Lomsadze Yu.M. Skupinový teoretický úvod do fyziky elementárních částic. - M., Vyšší škola , 1962. - c. 114
↑ Pauli, 1983 , str. 42.

Literatura

Pauli W. Teorie relativity. - M. : Nauka, 1983. - 336 s.