Meshcherského rovnice

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Meshcherského rovnice je základní rovnicí v mechanice těles o proměnné hmotnosti, kterou získal I. V. Meshchersky v roce 1897 [1] pro hmotný bod o proměnné hmotnosti (složení).

Rovnice se obvykle píše v následujícím tvaru:

M(t){\frac {d{\mathbf v}}{dt}}={\mathbf u}_{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u }_{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+{\mathbf F},

kde:

$M(t)$ je hmotnost hmotného bodu, která se mění v důsledku výměny částic s okolím, v libovolném čase t;
${\mathbf v}$ je rychlost pohybu hmotného bodu o proměnné hmotnosti;
${\mathbf F}$ - výslednice vnějších sil působících na hmotný bod o proměnné hmotnosti z jeho vnějšího prostředí (včetně, pokud k tomu dojde, ze strany prostředí, se kterým si vyměňuje částice, např. elektromagnetické síly - v případě přenosu hmoty s magnetické médium, odpor pohybu média atd.);
${\mathbf u}_{1}(t)={\mathbf v}_{1}-{\mathbf v}$ je relativní rychlost spojovaných částic;
${\mathbf u}_{2}(t)={\mathbf v}_{2}-{\mathbf v}$ je relativní rychlost separovaných částic;
${\frac {dm_{1}}{dt}}>0$ a jsou rychlost nárůstu celkové hmotnosti připojených částic a rychlost nárůstu celkové hmotnosti oddělených částic. ${\frac {dm_{2}}{dt}}>0$

Tsiolkovského vzorec lze získat jako výsledek řešení této rovnice.

Velikost:

{\mathbf F}_{r}={\mathbf u}_{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-{\mathbf u}_{2}{\frac {dm_{2} }{dt}}

nazývaný "jalový výkon" .

Obvykle [2] [3] [4] se Meshcherského rovnice získá na základě rovnice pro rychlost změny hybnosti soustavy hmotných bodů, která má tvar:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec F},

kde je impuls soustavy, rovný součtu impulsů všech hmotných bodů, které soustavu tvoří, a je výslednicí všech vnějších sil působících na tělesa soustavy. Níže je odvození rovnice pomocí právě takového přístupu. ${\vec P}$ ${\vec {F}}$

Odvození Meshcherského rovnice

Uvažujme těleso s proměnnou hmotností . Nechť se k tělesu po určitou dobu připojí malá hmota , která měla před spojením rychlost a oddělí se malá hmota , jejíž rychlost po oddělení se rovná . Za systém, který nás zajímá, budeme považovat všechna tři zmíněná tělesa. $M=M(t)$ $dt$ $dm_{1}$ ${\vec {v}}_{1}$ $dm_{2}$ ${\vec {v}}_{2}$

V souladu se zákonem zachování hybnosti je hybnost systému na začátku a na konci uvažovaného procesu stejná:

M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_ {2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)

kde je změna hybnosti hlavního tělesa v důsledku jak změny jeho rychlosti, tak změny jeho hmotnosti. $d(M{\vec {v)))$

Vezmeme-li v úvahu, že z (1) dostaneme: $d(M{\vec {v)))=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}$

dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}. \qquad (2)

Změna hmotnosti hlavního tělesa je spojena s poměrem , proto z (2) vyplývá: $dM$ $dm_{1}$ $dm_{2}$ $dM=dm_{1}-dm_{2}$

dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2 }-{\vec {v))).\qquad (3)

Po přechodu od diferenciálů k derivacím a přeskupení termínů má (3) podobu:

M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v }})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)

Zavedením relativních rychlostí částic a rovných a respektive , a přidáním výslednice vnějších sil získáme Meshcherského rovnici v její konečné podobě. ${\vec {u}}_{1}$ ${\vec {u}}_{2}$ $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$ $\vec{F}$

Relativistická Meshcherského rovnice

Prvními pracemi [5] věnovanými studiu pohybu raket s přihlédnutím k relativistickým efektům byly práce Akkereta [6] a Zengera [7] .

Při odvození Meshcherského rovnice, vhodné pro případ rychlostí srovnatelných s rychlostí světla, se používá výraz pro relativistickou hybnost . Výsledkem je, že rovnice má tvar: ${\vec p}={\frac {m{\vec v}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right )={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{{\sqrt {1-v^{2}/ c^{2}}}}}\right)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{{ \sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}\vpravo).

V této rovnici se v obecném případě nezavádějí relativní rychlosti a , protože v relativistickém případě se sčítání rychlostí provádí jinak. $({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})$ $({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})$

Pro případ pouze částic separovaných rychlostí kolineární s rychlostí rakety se tato rovnice redukuje na následující tvar:

M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}} ,

kde je rychlost částic vzhledem k raketě. $u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}$

Historie objevů

Pohybovou rovnici hmotného bodu o proměnné hmotnosti pro případ uchycení (či separace) částic získal a důkladně prozkoumal v magisterské práci IV Meshchersky, obhájené na Petrohradské univerzitě 10. prosince 1897 [8] . První zprávu o pohybové rovnici hmotného bodu o proměnlivé hmotnosti v obecném případě současného uchycení a separace částic podal I. V. Meshchersky 24. srpna 1898 na zasedání matematicko-astronomické sekce X. kongresu r. Ruští přírodovědci a lékaři v Kyjevě , se stal široce známým později, po práci „Pohybové rovnice bodu o proměnné hmotnosti v obecném případě“, publikované ve „Proceedings of the St. Petersburg Polytechnic Institute“ v roce 1904 [9] .

Je _K.G.podle, žepoznamenattřeba

Poznámky

↑ Kosmodemjanskij A. A. „Vědecká činnost Ivana Vsevolodoviče Meščerského“ s. 9-25 v knize I. V. Meščerského. Práce na mechanice těles s proměnnou hmotností. Ed. 1. — M.: GITTL, 1949. s.13.
↑ Sivukhin D.V. Obecný kurz fyziky. — M .: Fizmatlit; Nakladatelství MIPT, 2005. - T. I. Mechanika. — S. 119-120. — 560 str. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Targ S. M. Krátký kurz teoretické mechaniky. - M .: Vyšší škola, 1986. - S. 287-288. — 416 s.
↑ Irodov I. E. Základní zákony mechaniky. - M . : Vyšší škola, 1985. - S. 41. - 248 s.
↑ Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Základy makroskopických teorií gravitace a elektromagnetismu. - M.: Nauka, 1989. S. 153.
↑ Aekeret I. Zur Theorie der Raketen // Helv-Physica. Acta.—1946. - T. 19, N 2-P. 103-112.
↑ Sanger E. Zur Mechanik der Photonen-Strahlantriebe. - Mnichov, 1956 (ruský překlad: M .: IL, 1958).
↑ Meshchersky I. V. Pracuje na mechanice těles s proměnnou hmotností. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1952. - S. 37.
↑ Meshchersky I. V. Pracuje na mechanice těles s proměnnou hmotností. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1952. - S. 222.
↑ Vývoj základů dynamiky systému proměnného složení a teorie proudového pohonu. — M.: 1977
↑ „Studie z dějin fyziky a mechaniky“. Moskva: Nauka, 1986, str. 191-238

Literatura

Meshchersky I. V. "Dynamika bodu s proměnnou hmotností" // V knize. I. V. Meshchersky. Práce na mechanice těles s proměnnou hmotností. Ed. 2. — M.: GITTL, 1952. — 280 s. s. 37-188.
Meshchersky I.V. , „Pohybové rovnice bodu s proměnnou hmotností v obecném případě“ // V knize. I. V. Meshchersky. Práce na mechanice těles s proměnnou hmotností. Ed. 2. — M.: GITTL, 1952. — 280 s. s. 222-264.
Michajlov G. K. „K historii dynamiky systémů proměnlivého složení“ Izvestija AN SSSR: Mechanika tuhých těles, 1975, č. 5, s. 41-51.
Michajlov GK K historii dynamiky systémů proměnného složení a teorii proudového pohonu. M.: Ústav problémů mechaniky Akademie věd SSSR, 1974.
Karagodin V. M. Teoretické základy mechaniky těles s proměnným složením. M.: Oborongiz, 1963. 178. léta.
Mechanika těles o proměnné hmotnosti - článek z Fyzikální encyklopedie
Kilčevskij N.A. Kurz teoretické mechaniky. Svazek 1. M .: Nauka, 1977. Kapitola IV "Dynamika bodu s proměnnou hmotností" Odstavec 221. - Odvození Meshcherského rovnice (str. 433-435).
Aizerman M.A. Klasická mechanika. 2. vyd. M.: Nauka, 1980. - 368. léta. Kapitola 3. Oddíl 9. Aplikace základních teorémů mechaniky na pohyb soustavy s proměnným složením. str. 107-120.
Veretennikov V. G. , Sinitsyn V. A. Teoretická mechanika (dodatky k obecným oddílům). — M.: FIZMATLIT, 2006. — 416 s. - ISBN 5-9221-0703-8 (Odstavce 2.5. Kinematika systému proměnlivého složení. s.71-77; 3.4. Základní dynamické veličiny systému proměnlivého složení. s.91-94; 6.2. Problém pohyb těžiště při interakci tělesa s str. 170-172 6.3 Věta o změně hybnosti soustavy s proměnným složením 6.6 Aplikace věty na změna kinetické energie na systém proměnného složení, str. 200-207, 7.2 Obecná rovnice analytická dynamika pro systém bodů proměnné hmotnosti, str. 215-227.)
Sedov L. I. K relativistické teorii letu raket // Aplikovaná matematika a mechanika - 1986. - V. 50, no. 6.
Sedov L. I. , Tsypkin A. G. Základy makroskopických teorií gravitace a elektromagnetismu. — M.: Nauka, 1989. — 272 s. — ISBN 5-02-013805-3 . Kapitola III. odstavec 4. Relativistická teorie letu raket.

Odkazy

Domácí střely Borodovsky VN . Historie a budoucnost