Fiduciální závěr

Základní inference (z latinského fides: víra, důvěra), jako druh statistické inference , byla poprvé navržena Sirem R. E. Fisherem .

Základovou inferenci lze interpretovat jako pokus vypočítat inverzní pravděpodobnost bez použití předchozího rozdělení pravděpodobnosti [1] . V intervalovém hodnocení jsou „základní intervaly“ někdy srovnávány se standardními přístupy:

intervaly spolehlivosti pro odhad parametru (pro rozdělení pravděpodobnosti odhadu )
důvěryhodný Bayesovský interval ( en:Věrohodný interval ) (pro zadní pravděpodobnost , že interval obsahuje skutečnou hodnotu).

Fiduciální závěr rychle vyvolal kontroverzi a nikdy nebyl široce přijímán. Brzy byly zveřejněny protipříklady k Fischerovým výrokům. Vedly k pochybnostem o konzistenci „základního závěru“ jako systému statistického závěru nebo induktivní logiky . Jiné studie ukázaly, že v případech, kdy základní inference vede k „základní pravděpodobnosti“, tato pravděpodobnost postrádá vlastnost aditivity, a proto není mírou pravděpodobnosti .

Pozadí

Některé studenty může představa intervalu spolehlivosti pokrytého γ odstrašovat . . Interpretace se skutečně zdá poněkud matoucí: mezi všemi intervaly spolehlivosti vypočítanými stejnou metodou bude podíl γ obsahovat skutečnou hodnotu, kterou odhadujeme (a podíl 1 − γ ji tedy obsahovat nebude). Toto je interpretace opakovaného vzorkování (nebo vzorkování frekvence ), ale není jednoznačně použitelná pro pravděpodobnost frekvence . Jinak dotyčná pravděpodobnost není pravděpodobností, že skutečná hodnota spadá do pevného intervalu, který byl vypočten.

Bayesovská inference umožňuje určit spolehlivý Bayesovský interval neznámého parametru s danou pravděpodobností, že skutečná hodnota spadá do tohoto intervalu. Ale používá kontroverzní předpoklad o možnosti nastavení rozdělení pravděpodobnosti neznámého parametru ještě před začátkem pozorování (tzv. předchozí rozdělení pravděpodobnosti ). K překonání tohoto nedostatku a poskytnutí nové interpretace byla navržena výchozí metoda. Základní pravděpodobnost je míra toho, jak moc můžeme věřit jakékoli dané hodnotě neznámého parametru.

Fisher neuvedl obecnou definici fiduciální metody a popřel její univerzálnost. Příklady uvedl pouze pro případ jednoho parametru. Později byla konstruována různá zobecnění pro případ mnoha parametrů. Relativně úplný popis fiduciální inference podal Quenouille (1958). Pro novější diskusi o fiduciální inferenci viz Kendall & Stuart (1973) [2] .

Základní alokace

Fisher vyžaduje existenci dostatečných statistik pro aplikaci výchozí metody. Předpokládejme například, že nezávislá pozorování jsou rovnoměrně rozložena po intervalu . Pak maximum mezi pozorováními ( ) je dostatečná statistika pro . Podmíněné rozdělení statistik skutečně nezávisí na hodnotě : pokud zapomeneme všechna data kromě , pak to bude ekvivalentní vědomí, že data obsahují jakékoli hodnoty z intervalu - to znamená, že obsahují všechny dostupné informace. z údajů o . Dalším příkladem dostatečné statistiky je výběrový průměr pro střední hodnotu normálního rozdělení . $n$ $[0,\omega ]$ $n$ $X$ $\omega$ $X$ $\omega$ $X$ $[0,X]$ $X$ $\omega$

Pokud pro daný , vezměte , pak $\alpha$ $a=(1-\alpha )^{\frac {1}{n))$

P\left(a<{\frac {X}{\omega }}\right)=1-a^{n}=\alpha

od .

P(X\leq x)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}

Fisher tvrdí, že můžeme obrátit poslední tvrzení a říci:

P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha

kde je nyní chápáno jako náhodná proměnná a je pevné. Takové rozdělení je základní rozdělení a může být použito k vytvoření základních intervalů. $\omega$ $X$ $\omega$

Výsledek je totožný s intervalem spolehlivosti v metodě en:pivotal , ale jeho interpretace je odlišná. Ve skutečnosti starší knihy používají termíny interval spolehlivosti a referenční interval zaměnitelně. Všimněte si, že základní rozdělení je jednoznačně určeno, pokud existují dostatečné statistiky.

Pivotal metoda je založena na náhodné veličině, která je funkcí pozorování i parametrů, ale jejíž rozdělení nezávisí na parametru. Pak lze o datech učinit pravděpodobnostní tvrzení tak, že nezávisí na parametrech. Může být invertován řešením parametrů v podstatě stejným způsobem, jak je ukázáno výše. To je však ekvivalentní základní metodě pouze v případě, že je stěžejní hodnota jednoznačně určena na základě dostatečných statistik.

Základní interval můžeme jednoduše definovat jako jiný název pro interval spolehlivosti a dát mu základní interpretaci. Taková definice ale nebude jednoznačná. Fisher popřel správnost této interpretace: základní rozdělení musí být jednoznačně definováno a musí využívat všechny informace ze vzorku.

Stav přístupu

Jakmile byl přístup formulován Fischerem, výchozí závěr rychle vyvolal kontroverzi. a nikdy nebyl široce přijat. Rychle se objevily protipříklady k Fischerovým myšlenkám.

Fisher uznal, že „základní závěr“ má problémy. Napsal Georgi A. Barnardovi , že mu není „jasný“ jeden problém základního vyvozování. [3] V dopise Barnardovi si Fischer stěžuje, že jeho teorie se zdá mít pouze „asymptotické přiblížení ke srozumitelnosti“. [3] Fischer později přiznal: „Stále nechápu, co je základní pravděpodobnost. Než budeme vědět, jak je pro nás užitečný, budeme s tím muset žít ještě dlouho. Ale nemělo by to být ignorováno jen proto, že nemáme jasnou interpretaci.“ [3]

Lindley ukázal , že základní pravděpodobnost postrádá aditivitu, a proto není mírou pravděpodobnosti . Cox poukázal [4] na to, že stejné argumenty platí pro takzvané „rozdělení spolehlivosti“ spojené s intervaly spolehlivosti , takže závěry z toho vyvozené jsou diskutabilní. Fisher načrtl „důkazy“ výsledků pomocí základní pravděpodobnosti. Pokud závěry vyvozené z Fisherových výchozích argumentů nejsou špatné, ukázalo se, že mnohé vyplývá z Bayesianských závěrů. Mnoho skutečných důsledků Fisherových fiduciálních argumentů lze odvodit také z Bayesovského závěru. [2]

V roce 1978 Pederson napsal, že „argument základního klíče měl velmi omezený úspěch a nyní je prakticky mrtvý“. [5] Davison [6] napsal: „V poslední době došlo k několika pokusům o vzkříšení fiducialismu, ale nyní se zdá, že má větší historickou hodnotu, zejména pokud jde o jeho omezený rozsah, když je postaven vedle modelů současného zájmu.“ Nicméně, základní inference je zkoumána ve dvou nedávných pracích Hanniga. [7] [8]

Poznámky

↑ Quenouille (1958), kapitola 6
↑ 1 2 Kendall, MG, Stuart, A. (1973) The Advanced Theory of Statistics, Volume 2: Inference and Relationship, 3rd Edition , Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (kapitola 21)
↑ 1 2 3 Zabell, S. L. . R. A. Fisher a Fiducial Argument , s. 369–387. Archivováno z originálu 19. února 2017. Získáno 3. října 2017. (strana 381)
↑ Cox (2006) s. 66
↑ Pederson, JG (1978), Fiducial Inference, International Statistical Review T. 46 (2): 147–170, MR : 0514060 .
↑ Davison, AC (2001) „ Sté výročí biometrie : Teorie a obecná metodologie“ Biometrika 2001 (strana 12 v republikovém vydání upravili DM Titterton a David R. Cox )
↑ Hannig, J. (2009) "Generalized fiducial inference for wavelet regression" Biometrika , 96(4),847-860.
↑ Hannig, J. (2009) "On generalized fiducial inference", Statistica Sinica , 19, 491-544

Literatura

Cox, D. R. (2006). Principy statistické inference , CUP. ISBN 0-521-68567-2 .
Fisher, RA. Statistické metody a vědecké závěry . — New York: Hafner, 1956.
Fisher, Ronald "Statistické metody a vědecká indukce" J. Roy. statista. soc. Ser. B. 17 (1955), 69-78. (kritika statistických teorií Jerzyho Neymana a Abrahama Walda z fiduciální perspektivy)
Neyman, Jerzy . Poznámka k článku Sira Ronalda Fishera , s. 288–294. (odpověď na Fishera 1955, která diagnostikuje klam „základní inference“)
R. A. Fisher's Contributions to Mathematical Statistics (anglicky) / Tukey, J W., ed. - New York: Wiley, 1950.
Quenouille, MH (1958) Základy statistického uvažování . Griffin, Londýn
Young, GA, Smith, RL (2005) Essentials of Statistical Inference , CUP. ISBN 0-521-83971-8

Odkazy

fiduciální závěr; přezkoumání. Kapitola 4 práce D. Solome, 1998.