Jonesův formalismus

Jonesův formalismus je matematický aparát pro analýzu polarizace světelné vlny, ve kterém je polarizace dána tzv. Jonesovými vektory a lineární optické prvky jsou dány Jonesovými maticemi [1] . Formalismus navrhl v roce 1941 Robert Clark Jones. Jonesův formalismus je použitelný pro plně polarizované světlo, pro nepolarizované nebo částečně polarizované světlo je nutné použít Mullerův formalismus .

Jones Vector

Jonesův vektor popisuje polarizaci světla ve vakuu nebo jiném homogenním izotropním prostředí v nepřítomnosti absorpce, kdy světlo lze popsat příčnou elektromagnetickou vlnou. Nechť se rovinná vlna šíří v kladném směru podél osy z a má cyklickou frekvenci ω a vlnový vektor k = (0,0, k ), kde vlnočet je k = ω / c . Potom jsou elektrická a magnetická pole ( E a H ) v každém bodě ortogonální ke k ; to znamená, že leží v rovině příčné ke směru pohybu. Navíc H je určeno s E otočeným o 90 stupňů a vynásobeným určitým faktorem v závislosti na systému jednotek a vlnové impedanci média. Proto se při studiu polarizace stačí zaměřit na E . Zapisuje se komplexní amplituda E

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i( kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin {pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz -\omega t)}

Fyzikální hodnota E je určena skutečnou částí tohoto vektoru a komplexní faktor popisuje fázi vlny.

Pak je Jonesův vektor definován jako:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Jonesův vektor tedy ukládá informace o amplitudě a fázi složek x a y pole.

Součet čtverců absolutních hodnot dvou složek Jonesova vektoru je úměrný intenzitě světla. Obvykle se normalizuje na jedničku v bodě, kde začíná výpočet. Také se běžně předpokládá, že první složkou Jonesova vektoru je reálné číslo . V tomto případě je vyřazena informace o fázi spoje, která je však nezbytná pro výpočet interference s jinými paprsky.

Jonesovy vektory a matice jsou označeny tak, že fáze vlny je dána . S touto definicí odpovídá nárůst (nebo ) fázovému zpoždění a pokles předstihu. Například složka Jonesova vektoru ( ) označuje zpoždění (nebo 90 stupňů) za 1. Platí jiná konvence ( ), takže by měl být čtenář opatrný. $\phi =kz-\omega t$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $i$ $=e^{i\pi /2}$ $\pi /2$ $\phi =\omega t-kz$

Následující tabulka obsahuje 6 oblíbených příkladů Jonesova vektoru:

Polarizace světla	Jones vektor	Typické označení ket
Lineárně polarizováno v x obecný název - horizontální	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$\|H\rangle$
Lineárně polarizované v y obvyklý název je vertikální	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix))$	$\|V\rangle$
Lineárně polarizováno pod úhlem 45° k ose x, obvyklý název je úhlopříčka L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Lineárně polarizované pod úhlem −45° k ose x, obvyklý název je antidiagonální L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Kruhová polarizace proti směru hodinových ručiček běžný název - RCP nebo RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2))}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Kruhová polarizace ve směru hodinových ručiček běžně známá jako LCP nebo LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

Obecně lze jakýkoli vektor zapsat v notaci ket jako . Pomocí Poincarého koule (také známé jako Blochova koule ) musí základní ket vektory ( a ) označovat opačné ket vektory z uvedených párů. Můžete například napsat = a = . Zde je výběr libovolný. Opačné páry: $|\psi\rangle$ $|0\rozsah$ $|1\rozsah$ $|0\rozsah$ $|H\rangle$ $|1\rozsah$ $|V\rangle$

$|H\rangle$ že $|V\rangle$
$|D\rangle$ že $|A\rangle$
$|R\rangle$ že $|L\rangle$

Jonesovy matice

Jonesovy matice se nazývají operátory působící na Jonesových vektorech. Jsou určeny pro různé optické prvky: čočky, děliče paprsků, zrcadla a podobně. Každá matice je projekcí do jednorozměrného komplexního prostoru Jonesových vektorů. Následující tabulka ukazuje příklady Jonesových matic pro polarizátory:

Optický prvek	Jonesova matice
Lineární [[]]polarizátor s horizontální přenosovou osou [1]	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Lineární polarizátor s vertikální osou přenosu [1]	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Lineární polarizátor s osou přenosu pod úhlem ±45° k horizontále [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Pravotočivý kruhový polarizátor [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Levotočivý kruhový polarizátor [1]	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Manipulace s fází

Fázové konvertory zavádějí změnu fázového rozdílu mezi vertikální a horizontální polarizací, čímž řídí polarizaci paprsku. Obvykle se vyrábějí z jednoosých dvojlomných krystalů , jako je kalcit , MgF 2 nebo křemen . Jednoosé krystaly mají jednu z krystalových os odlišnou od ostatních dvou (tj. n i ≠ n j = n k ). Tato osa se nazývá neobvyklá nebo optická. Optická osa může být rychlá nebo pomalá, v závislosti na krystalu. Světlo se šíří vysokou fázovou rychlostí podél osy s nejnižším indexem lomu a tato osa se nazývá rychlá osa. Podobně se osa s nejvyšším indexem lomu nazývá pomalá osa. "Negativní" jednoosé krystaly (například kalcit CaCO 3, safír Al 2 O 3 ) mají ne < n o , takže u těchto krystalů je neobvyklá (optická) osa rychlá, zatímco "pozitivní" jednoosé krystaly (například křemen SiO 2 , fluorid hořečnatý MgF 2 , rutil TiO 2 ) mají ne > n o a jejich neobvyklá osa je pomalá.

Fázový převodník s rychlou osou shodující se s osami x nebo y má nulové mimodiagonální členy, a proto jej lze zobrazit maticí

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

kde a jsou fáze elektrického pole ve směrech x a y . V tomto zápisu určuje relativní fázi mezi dvěma vlnami jako . Pak kladná hodnota (tj. > ) znamená, že ještě nějakou dobu nebude mít stejnou hodnotu jako bude , tedy dopředu . Podobně, if , potom předchází . Pokud je například rychlá osa čtvrtvlnné desky vodorovná, pak fázová rychlost horizontální polarizace bude před fázovou rychlostí vertikální polarizace, tj . dopředu . If , což pro čtvrtvlnnou desku dává . $\phi _{x}$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi =kz-\omega t$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x))$ $\epsilon$ ${\displaystyle \phi _{y))$ $\phi _{x}$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $\epsilon <0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y))$ $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$

Alternativní zápis fáze je: , definuje relativní fázi jako . Pak to znamená, že nějakou dobu nebude stejná hodnota , pak dopředu . $\phi =\omega t-kz$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y))$ $\epsilon >0$ ${\displaystyle E_{y))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$

Živel	Jonesova matice
Čtvrtvlnná deska s vertikální rychlou osou [2] [3]	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Čtvrtvlnná deska s horizontální rychlou osou	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Čtvrtvlnná deska s rychlou osou v úhlu k horizontální ose $\theta$	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \ theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Půlvlnná deska s rychlou osou v úhlu k horizontální ose [4] $\theta$	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix))$
Libovolný materiál s dvojitým lomem (jako fázový měnič) [5]	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{ i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{ -i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2 }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fowles, G. Úvod do moderní optiky (neurčeno) . — 2. - Dover, 1989. - S. 35 .
↑ 1 2 Hecht, E. Optika (neurčitá) . — 4. - 2001. - S. 378. - ISBN 0805385665 .
↑ Násobič se objeví pouze tehdy, když jsou fáze nastaveny symetricky, tedy . Kniha [2] používá tuto definici , ale ne kniha [1] . $e^{i\pi /4}$ $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$
↑ Gerald, A. Úvod do maticových metod v optice (nespecifikováno) . — 1. - 1975. - ISBN 0471296856 .
↑ Získání polarizačních a retardačních parametrů nedepolarizujícího optického systému z polárního rozkladu jeho Muellerovy matrice , Optik, Jose Jorge Gill a Eusebio Bernabeu, 76 , 67-71 (1987).