Leibnizův vzorec (derivát produktu)

Leibnizův vzorec pro --tou derivaci součinu dvou funkcí je zobecněním pravidla pro diferenciaci součinu (a poměru) dvou funkcí pro případ -násobné derivace. $n$ $n$

Nechť tedy funkce a jsou časově diferencovatelné funkce $f(z)$ $g(z)$ $n$

\left(f\cdot g\right)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{ (nk)}}g^{{(k)}}},

kde jsou binomické koeficienty .

C_{n}^{k}={n \vyberte k}={{n!} \over {k!\;(nk)!}}

Příklady

Když se získá známé pravidlo pro derivát produktu: $n=1$

(f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.

V případě máme například: $n=2$

(f\cdot g)''=\sum \limits _{{k=0}}^{{2}}{C_{2}^{k}f^{{(2-k)}}g^{ {(k)}}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.

V případě máme například: $n=3$

(f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k )}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.

V případě máme například: $n=4$

(f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^ {(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)} }+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.

Důkaz a zobecnění

Důkaz vzorce se provádí indukcí pomocí pravidla součinu . Ve víceindexovém zápisu lze vzorec zapsat v obecnější podobě:

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _({\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{{\ alfa -\beta }}f)(\částečné ^{{\beta }}g).

Tento vzorec lze použít k získání výrazu pro skládání diferenciálních operátorů. Nechť jsou P a Q diferenciální operátory (s koeficienty, které jsou diferencovatelné dostatečně mnohokrát) a . Pokud je R také diferenciální operátor, pak platí rovnost: $R=P\circ Q$

R(x,\xi )=e^{{-{\langle x,\xi \rangle }}}R(e^{{\langle x,\xi \rangle }}).

Přímý výpočet dává:

R(x,\xi )=\součet _{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).

Tento vzorec je také známý jako Leibnizův vzorec .

Literatura

Shipachev V.S. Základy vyšší matematiky: učebnice pro střední školy / Ed. akad. A. N. Tichonova. - M . : Vyšší škola, 1989 . — 479 s. - ISBN 5-06-000048-6 .
Zorich V. A. Matematická analýza. Část 1. - 2-e. - M. : FAZIS, 1997 . — 554 s. — ISBN 5-7036-0031-6 .