Newton-Cotesovy vzorce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. října 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Newton-Cotesovy (Cotesovy) vzorce , nazývané také Newton-Cotesova kvadraturní pravidla nebo jednoduše Newton-Cotesova pravidla, jsou skupinou vzorců pro numerickou integraci (také nazývané kvadratury ) založené na výpočtu integrovatelné funkce ve stejně rozmístěných bodech. Vzorce jsou pojmenovány po Isaacu Newtonovi a Rogeru Cotesovi .

Vzorce Newton-Kots jsou užitečné, když jsou hodnoty integrovatelné funkce uvedeny v bodech vzdálených od sebe ve stejné vzdálenosti. Pokud je možné změnit polohu bodů , mohou být vhodnější jiné metody, jako je Gaussova metoda a Clenshaw-Curtisova kvadraturní metoda

Popis

Předpokládá se, že hodnoty funkce f jsou definovány na segmentu a jsou známy v bodě umístěném ve stejných vzdálenostech od sebe. Pokud a , to znamená, že hodnoty funkce jsou použity na hranicích intervalu, pak se funkce nazývá kvadratura typu "uzavřeno" a pokud a , tedy hodnoty funkce v krajních bodech intervalu se nepoužívají, pak typ "otevřený" [1] . Newton-Cotesovy vzorce pomocí bodů lze definovat (pro oba případy) jako [2] $[a,b]$ $n+1$ $a\leqslant x_{0}<x_{1}<\tečky <x_{n}\leqslant b$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $x_{0}>a$ $x_{n}<b$ $n+1$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}A_{i}\,f(x_{i})

kde

pro vzorec uzavřeného typu , kde , $x_{i}=a+ih$ $h={\frac {ba}{n}}$
pro vzorec otevřeného typu , kde . $x_{i}=a+(i+1)h$ $h={\frac {ba}{n+2))$

Číslo h se nazývá velikost kroku a nazývá se kvadraturní koeficient [3] . $A_{i}$

$A_{i}$ lze vypočítat jako integrály Lagrangeových základních polynomů , které závisí pouze na funkci f a nezávisí na ní . Dovolit být interpolační polynom ve tvaru Lagrange pro dané body , Pak $x_{i}$ $L(x)$ $(x_{0},f(x_{0})),\tečky ,(x_{n},f(x_{n}))$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b} \left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n} f(x_{i})\pod závorkou {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{A_{i}}.

Nestabilita pro vysoké výkony

Jeden může sestavit Newton-Cotes rovnice nějakého stupně n . Nicméně pro velké n může Newton-Cotesovo pravidlo někdy trpět jevem Runge [4] , kde chyba roste exponenciálně pro velké n . Metody jako Gaussova kvadratura nebo Clenshaw-Curtisova kvadratura – s nestejnými vzdálenostmi mezi body (s větší hustotou na koncích integračního intervalu) – jsou stabilní a přesnější, a proto obvykle výhodnější než Newton-Cotesova kvadratura. Pokud tyto metody nelze použít, tj. pokud jsou hodnoty výrazu, který se má integrovat, uvedeny pouze v pevné mřížce se stejnými vzdálenostmi, lze se fenoménu Runge vyhnout použitím intervalového rozdělení, jak je vysvětleno níže.

Stabilní Newton-Cotesovy vzorce lze také sestavit, pokud je interpolace nahrazena metodou nejmenších čtverců. To umožňuje psát numericky stabilní vzorce i pro vysoké mocniny [5] [6] .

Newton-Cotesovy vzorce uzavřeného typu

Následující tabulka uvádí některé Newton-Cotesovy vzorce uzavřeného typu. For let , a notace je zkratka pro . $0\leqslant i\leqslant n$ $x_{i}=a+i{\tfrac {ba}{n}}=a+ih$ $f_{i}$ $f(x_{i})$

Uzavřené Newton-Cotesovy vzorce

n	Velikost kroku h	Běžné jméno	Vzorec	Chyba
jeden	$ba$	Lichoběžníková metoda	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {ba}{2))$	Simpsonův vzorec	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {ba}{3))$	Simpsonova formule 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
čtyři	${\frac {ba}{4))$	Booleovo pravidlo	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

Booleovo pravidlo je někdy mylně označováno jako Bodeovo pravidlo, a to v důsledku typografické chyby v knize Abramovitze a Steegana [7] [8] .

Stupeň velikosti segmentu h v chybě ukazuje rychlost, se kterou se aproximační chyba snižuje . Pořadí derivace f v chybě dává nejmenší stupeň polynomu, který nelze podle tohoto pravidla přesně (tj. s nulovou chybou) vypočítat. Číslo je třeba vzít z intervalu (a, b). $\xi$

Newton-Cotesovy vzorce otevřeného typu

Tabulka ukazuje některé vzorce Newton-Cotes otevřeného typu. Opět zkratka pro , kde . $f_{i}$ $f(x_{i})$ $x_{i}=a+i{\frac {ba}{n+2}}$

Newton-Cotes otevřené vzorce

n	Velikost kroku h	Běžné jméno	Vzorec	Chyba
0	${\frac {ba}{2))$	Riemannův součet nebo Riemannův střední součet	$2hf_{1}\,$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
jeden	${\frac {ba}{3))$		${\frac {3}{2}}h(f_{1}+f_{2})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {ba}{4))$	Milne vzorec	${\frac {4}{3}}h(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {ba}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$

Rozdělení intervalu

Aby byl Newton-Cotesův vzorec přesnější, musí být délka h malá. To znamená, že samotný integrační interval musí být malý, což ve většině případů neplatí. Z tohoto důvodu se numerická integrace obvykle provádí rozdělením intervalu na menší podintervaly, na každý z nich je aplikován Newton-Cotesův vzorec, načež se výsledky sečtou. Viz článek Numerická integrace . $[a,b]$ $[a,b]$

Viz také

Poznámky

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , str. 240.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , str. 386-387.
↑ Kalašnikov, Fedotkin, Fokina, 2016 , str. 5.8.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , str. 390-391.
↑ Pavel Holoborodko. Stabilní formule Newton-Cotes (24. března 2011). Získáno 17. srpna 2015. Archivováno z originálu 31. prosince 2017. (neurčitý)
↑ Pavel Holoborodko. Stabilní formule Newton-Cotes (otevřený typ) (20. května 2012). Získáno 18. srpna 2015. Archivováno z originálu 20. prosince 2017. (neurčitý)
↑ Abramowitz, Stegun, 1972 .
↑ Booles Rule na stránce Wolfram Mathworld chybně napsaný rok „1960“ (místo „1860“) . Získáno 13. ledna 2022. Archivováno z originálu dne 24. ledna 2018. (neurčitý)

Literatura

Pokyny pro řešení úloh numerické integrace / komp. A. L. Kalašnikov, A. M. Fedotkin, V. N. Fokina. - Nižnij Novgorod, 2016.
Quarteroni. Numerická matematika. — 2. - Springer, 2006. - ISBN 978-3-540-34658-6 .
Oddíl 25.4 // Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami / M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds.. - New York: Dover, 1972.
Abramovitz M., Stigan I. Příručka speciálních funkcí, Se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. - Moskva: "Nauka", 1979.
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler. Oddíl 5.1. // Počítačové metody pro matematické výpočty . — Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977.
Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP Oddíl 4.1. Klasické vzorce pro stejně rozložené úsečky // Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači. — 3. - New York: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-88068-8 .
Josef Stoer, Roland Bulirsch. Oddíl 3.1 // Úvod do numerické analýzy . — New York: Springer-Verlag, 1980.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Výpočetní metody. - 2. vyd. -M.:Fizmatlit, 1962. - (Ruština)

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Newton–Cotesův kvadraturní vzorec , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Newton-Cotesovy vzorce na www.math-linux.com
Weisstein, Eric W. Newton–Cotes Formulas (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
Integrace Newton-Cotes , numericalmathematics.com