Funkce Rademacher

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. února 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Funkce Rademacher je po částech konstantní periodická funkce, která nabývá pouze dvou hodnot 1 a −1 v celé oblasti definice. Zavedl Hans Rademacher v roce 1922 [1] . Grafem funkce je meandr .

Funkci Rademacher lze vyjádřit následovně:

\operatorname {rad} _{n}(x)=\operatorname {sign} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)

Systém funkcí Rademacher je v prostoru ortonormální , protože: $L^{2}[0,1]$

\int _{0}^{1}\operatorname {rad} _{n}(x)\cdot \operatorname {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{ mn}

kde je symbol Kronecker . $\delta _{{mn}}$

Rademacherův systém funkcí je neúplný. Na jejich základě můžete sestavit Walshovy funkce :

\operatorname {wal} _{\nu }(x)=\operatorname {rad} _{\operatorname {lb} \nu }(x)

kde je binární logaritmus . $\operatorname {lb} \nu =\log _{2}\nu$

Funkci Rademacher lze zadat pomocí funkce Haar : $\psi(x)$

\operatorname {rad} _{\nu }(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu }x+k)

Poznámky

↑ H. Rademacher. Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen (německy) // Math. Ann.. - 1922. - Bd. 87 , č. 1-2 . — S. 112–138 . (nedostupný odkaz)

Odkazy

Square Wave na WolframMathWorld
Rademacher systém - článek encyklopedie matematiky