Haarova funkce

Haarova funkce je po částech konstantní funkce. Určeno na intervalu . Posloupnost Haarových funkcí tvoří ortogonální systém. Jako první jej postavil Alfred Haar [1] . Jakákoli funkce, která je Lebesgueova integrovatelná na intervalu, může být rozšířena do řady Haarových funkcí podobných rozšíření do Fourierovy řady : . $\left[0,1\right)$ $\left[0,1\right)$ $f(x)\sim c_{0}\chi _{0}^{(0)}(x)+\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=1} ^{2m}c_{m}^{(k)}\chi _{m}^{(k)}(x)$

Definice

První dvě Haarovy funkce jsou definovány takto:

\chi _{0}^{(0)}(x)=1

\chi _{0}^{(1)}(x)={\begin{cases}1,x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right)\\ 0,x={\frac {1}{2}}\\-1,x\in \left({\frac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

Další Haarovy funkce jsou definovány pro všechny přírodní látky : ${\displaystyle m\geqslant 1,1\leqslant k\leqslant 2^{m))$

\chi _{m}^{(k)}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2^{m))},x\in \left({\frac {k-1 }{2^{m))},{\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}}\right)\\-{\sqrt {2^{m} )),x\in \left({\frac {k-{\frac {1}{2}}}{2^{m}}},{\frac {k}{2^{m}}}\ vpravo)\\0,x\in \left({\frac {l-1}{2^{m}}},{\frac {l}{2^{m}}}\right)\end{cases }}

Zde: . ${\displaystyle l\neq k,1\leqslant l\leqslant 2^{m))$

Vlastnosti

Množina Haarových funkcí je ortonormální systém [2] .
U funkce, která je integrovatelná podle Lebesguea , konverguje Haarova expanze k této funkci téměř všude.
Haarův expanze pro funkci konverguje k této funkci v každém bodě spojitosti této funkce a konverguje rovnoměrně na každém intervalu, na kterém je funkce rovnoměrně spojitá.

Poznámky

↑ Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionsysteme, disertační práce (Gottingen, 1909); Matematika. Ann. 69 (1910), 331-371, 71 (1912), 33-53
↑ Aleksich, 1963 , str. 55.

Literatura

Aleksich G. Problémy konvergence ortogonálních řad. - M . : Zahraniční literatura, 1963. - 359 s.