Voigtův profil

Voigt (uprostřed)
Každé pouzdro má plnou šířku v poloviční výšce blízkou 3,6. Černá a červená křivka jsou limitními případy Gaussova (γ =0) a Lorentzova (σ =0) profilu.Hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
Možnosti	$\gamma ,\sigma >0$
Dopravce	$x\in (-\infty ,\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	${\frac {\Re [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),~~~z={\frac {x+i\gamma }{\sigma { \sqrt {2}}}}}$
distribuční funkce	(složité viz text)
Očekávaná hodnota	(nedefinováno)
Medián	$0$
Móda	$0$
Disperze	(nedefinováno)
Kurtózní koeficient	(nedefinováno)
Generující funkce momentů	(nedefinováno)
charakteristická funkce	$e^{-\gamma \|t\|-\sigma ^{2}t^{2}/2}$

Voigtův profil nebo Voigtovo rozdělení (pojmenované podle Woldemara Vogta ) je rozdělení pravděpodobnosti získané konvolucí Cauchy-Lorentzova rozdělení a Gaussova rozdělení . Často se používá při analýze spektroskopických nebo difrakčních dat .

Definice

Bez ztráty obecnosti lze uvažovat pouze centrované profily, jejichž vrchol je na nule. Poté je definován Voigt profil

V(x;\sigma ,\gamma )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }G(x';\sigma )L(xx';\gamma )\,dx',

kde x je posun od polohy maxima přímky, je centrované Gaussovo rozdělení dané vztahem $G(x;\sigma )$

G(x;\sigma )\equiv {\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2))))){\sigma {\sqrt {2\pi )) } },

a je centrovanou Lorentzovou distribucí $L(x;\gamma )$

L(x;\gamma )\equiv {\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2))))).

Určitý integrál lze vyhodnotit jako:

V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\název operátora {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi )))),

kde Re [ w ( z )] je skutečná část Faddeevovy funkce vypočítaná pro komplexní argument

z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2)))).

V omezujících případech pro a zjednodušuje na a , resp. $\sigma=0$ $\gamma =0$ $V(x;\sigma ,\gamma )$ $L(x;\gamma )$ $G(x;\sigma )$

Historie a aplikace

Ve spektroskopii Voigtův profil popisuje konvoluci dvou rozšiřujících se mechanismů, z nichž jeden dává Gaussovu distribuci (obvykle jako výsledek Dopplerova rozšíření ) a druhý Lorentzovu distribuci. Voigtovy profily jsou běžné v mnoha oborech souvisejících se spektroskopií a difrakcí . Kvůli složitosti výpočtu funkce Faddeev je Voigtův profil někdy aproximován pomocí pseudo-Voigtova rozdělení.

Charakteristika

Profil Voigt je normalizován jako všechny distribuce:

\int _{-\infty }^{\infty }V(x;\sigma ,\gamma )\,dx=1,

protože jde o konvoluci normalizovaných rozdělení pravděpodobnosti. Lorentzův profil nemá žádné momenty (kromě nulových momentů), takže funkce generování momentů pro Cauchyho rozdělení není definována. Z toho vyplývá, že Voigtův profil také nemá žádnou moment generující funkci, ale charakteristická funkce pro Cauchyho rozdělení je dobře definovaná, stejně jako charakteristická funkce pro normální rozdělení . Potom bude charakteristická funkce pro (centrovaný) Voigtův profil součinem dvou charakteristických funkcí:

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=E(e^{ixt})=e^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t |}.

Protože normální distribuce a Cauchyho distribuce jsou stabilní distribuce , každá z nich je uzavřena pod konvolucí (až do změny měřítka), a z toho plyne, že Voigtova distribuce jsou také uzavřena pod konvolucí.

Funkce kumulativního rozdělení

Pomocí výše uvedené definice pro z lze kumulativní distribuční funkci (CDF) nalézt takto:

F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0)){\frac {\operatorname {Re} (w(z))}{\ sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,dx=\jméno operátora {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )} ^{z(x_{0})}w(z)\,dz\right).

Dosazení definice Faddeevovy funkce (škálovaná komplexní chybová funkce ) vede k neurčitému integrálu

{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,dz={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-z ^{2}}\left[1-\operatorname {erf} (-iz)\right]\,dz,

které lze vyjádřit pomocí speciálních funkcí

{\frac {1}{\sqrt {\pi ))}\int w(z)\,dz={\frac {\operatorname {erf} (z)}{2))+{\frac { iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2)),2;-z^{2}\right) ,

kde je hypergeometrická funkce . Aby se funkce blížila k nule, když se x blíží k zápornému nekonečnu (jak by mělo pro kumulativní distribuční funkci), je třeba přidat integrační konstantu 1/2. To dává Voigtově KFR: ${}_{2}F_{2}$

F(x;\mu ,\sigma )=\operatorname {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\operatorname {erf} (z)}{2}} +{\frac {iz^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{ 2}\vpravo)\vpravo].

Voigtův necentrovaný profil

Pokud je Gaussův profil vycentrován v bodě a střed Lorentzova profilu je , pak je středový bod konvoluce a charakteristická funkce je rovna $\mu _{G}$ $\mu _{L}$ $\mu _{G}+\mu _{L}$

\varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=e^{i(\mu _{ \mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.

Medián se také nachází na . $\mu _{G}+\mu _{L}$

Profil derivátu

Profily první a druhé derivace lze vyjádřit pomocí funkce Faddeeva následovně

{\frac {\partial }{\partial x}}V(x;\sigma ,\gamma )=-{\frac {\operatorname {Re} [z~w(z)]}{\sigma ^ {2}{\sqrt {\pi }}}}=-{\frac {x}{\sigma ^{2}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma { \sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{2))}{\frac {\název operátora {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt { 2\pi }}}};

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {x^{2}-\gamma ^{2 }-\sigma ^{2}}{\sigma ^{4}}}{\frac {\operatorname {Re} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}-{ \frac {2x\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {\název operátora {Im} [w(z)]}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))+{\frac {\gamma }{\sigma ^{4))}{\frac {1}{\pi )),

pomocí výše uvedené definice pro z .

Voigt funkce

Voigtovy funkce U , V a H (někdy nazývané funkce rozšíření čáry ) jsou definovány takto:

U(x,t)+iV(x,t)={\sqrt {\frac {\pi }{4t))}e^{z^{2))\operatorname {erfc} (z)= {\sqrt {\frac {\pi }{4t))}w(iz),

H(a,u)={\frac {U(u/a,1/4a^{2})}{a{\sqrt {\pi ))))),

kde

z=(1-ix)/2{\sqrt {t)),

erfc je chybová funkce a w ( z ) je funkce Faddeeva .

Vztah k profilu Voigt

Funkce rozšíření čáry může být spojena s Voigtovým profilem pomocí výrazu

V(x;\sigma ,\gamma )=H(a,u)/({\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}\sigma ),

kde

a=\gamma /({\sqrt {2))\sigma )

u=x/({\sqrt {2}}\sigma ).

Numerické aproximace

Funkce Tepper-Garcia

Funkce Tepper-Garcia , pojmenovaná po německo-mexickém astrofyzikovi Thoru Tepper-Garciovi , je kombinací exponenciální funkce a racionálních funkcí , která aproximuje funkci rozšíření čáry v širokém rozsahu jejích parametrů [1] . Získává se z expanze zkrácené mocninné řady přesné funkce rozšíření čáry. $H(a,u)$

Z výpočetního hlediska má nejefektivnější forma zápisu funkce Tepper-Garcia formu

T(a,u)=R-\left(a/{\sqrt {\pi }}P\right)~\left[R^{2}~(4P^{2}+7P+4+ Q)-Q-1\vpravo]\,,

kde , , a . $P\equiv u^{2}$ $Q\equiv 3/(2P)$ ${\displaystyle R\equiv e^{-P))$

Funkci rozšíření čáry lze tedy považovat v prvním řádu za čistou Gaussovu funkci plus korekční faktor, který lineárně závisí na mikroskopických vlastnostech absorbujícího prostředí (zakódovaných v parametru ); v důsledku časného zkrácení řady je však chyba takové aproximace stále řádu , tedy . Tato aproximace má relativní přesnost $A$ $A$ $H(a,u)\cca T(a,u)+{\mathcal {O}}(a)$

\epsilon \equiv {\frac {\vert H(a,u)-T(a,u)\vert }{H(a,u)}}\lesssim 10^{-4}

v celém rozsahu vlnových délek za předpokladu , že . Kromě vysoké přesnosti se funkce snadno píše a také rychle počítá. Je široce používán v oblasti analýzy absorpčních linií kvasarů [2] . $H(a,u)$ ${\displaystyle a\lesssim 10^{-4))$ $T(a,u)$

Aproximace pro pseudodistribuci Voigt

Aproximace pro Voigtovu pseudodistribuci je aproximací Voigtova profilu V ( x ) pomocí lineární kombinace Gaussovy křivky G ( x ) a Lorentzovy křivky L ( x ) namísto jejich konvoluce .

K výpočtu experimentálního profilu spektrálních čar se často používá Voigtova pseudodistribuční funkce .

Matematická definice normalizovaného Voigtova pseudodistribuce je dána vzorcem

V_{p}(x,f)=\eta \cdot L(x,f)+(1-\eta )\cdot G(x,f)

s .

0<\eta <1

kde je funkce parametru plné šířky v poloviční výšce (FWHM). $\eta$

Existuje několik možností pro výběr parametru [3] [4] [5] [6] . Jednoduchý vzorec s přesností na 1 % [7] [8] je dán vztahem $\eta$

\eta =1.36603(f_{L}/f)-0.47719(f_{L}/f)^{2}+0.11116(f_{L}/f)^{3},

kde je funkce Lorentzova ( ), Gaussova ( ) a plné šířky ( ) při polovičním maximu (FWHM). Plná šířka ( ) je popsána vzorcem $\eta$ $f_{L}$ $f_{G}$ $F$ $F$

f=[f_{G}^{5}+2.69269f_{G}^{4}f_{L}+2.42843f_{G}^{3}f_{L}^{2}+4.47163f_{ G}^{2}f_{L}^{3}+0,07842f_{G}f_{L}^{4}+f_{L}^{5}]^{1/5}.

Šířka profilu Voigt

Plnou šířku v polovině maxima (FWHM) Voigtova profilu lze určit z šířek odpovídajících šířek Gaussova a Lorentzova rozdělení. Šířka Gaussova profilu je

f_{\mathrm {G} }=2\sigma {\sqrt {2\ln(2))).

Šířka Lorentzova profilu je rovna

f_{\mathrm {L} }=2\gamma .

Hrubá aproximace poměru mezi šířkami profilů Voigt, Gauss a Lorentz je zapsána jako

f_{\mathrm {V} }\cca f_{\mathrm {L} }/2+{\sqrt {f_{\mathrm {L} }^{2}/4+f_{\mathrm {G} }^{2}}}.

Tato aproximace přesně platí pro čistě Gaussovo rozdělení.

Nejlepší aproximace s přesností 0,02 % dává rovnici [9]

f_{\mathrm {V} }\cca 0,5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0,2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^ {2}}}.

Tato aproximace je přesně správná pro čistý Gaussův profil, ale má chybu asi 0,000305 % pro čistý Lorentzův profil.

Poznámky

↑ Tepper-García, Thorsten (2006). „Voigtův profil přizpůsobení kvazarovým absorpčním liniím: analytická aproximace Voigt-Hjertingovy funkce“. Měsíční oznámení Královské astronomické společnosti . 369 (4): 2025-2035. DOI : 10.1111/j.1365-2966.2006.10450.x .
↑ Seznam citací nalezených v SAO/NASA Astrophysics Data System (ADS): https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2006MNRAS.369.2025T/citations Archivováno 13. prosince 2020 na Wayback Machine
↑ "Stanovení gaussovského a lorentzovského obsahu experimentálních liniových tvarů". Recenze vědeckých přístrojů . 45 (11): 1369-1371. 1974. Bibcode : 1974RScI...45.1369W . DOI : 10.1063/1.1686503 .
↑ Sánchez-Bajo, F. (srpen 1997). „Využití Pseudo-Voigt funkce v metodě rozptylu analýzy rozšíření rentgenové čáry“. Journal of Applied Crystallography . 30 (4): 427-430. DOI : 10.1107/S0021889896015464 .
↑ "Jednoduchá empirická analytická aproximace k profilu Voigt". JOSA B. 18 (5): 666-672. 2001. Bibcode : 2001JOSAB..18..666L . doi : 10.1364/ josab.18.000666 .
↑ "Voigtův profil jako součet Gaussových a Lorentzových funkcí, kdy váhový koeficient závisí pouze na poměru šířek". Acta Physica Polonica A. 122 (4): 666-669. 2012. DOI : 10.12693/APhysPolA.122.666 . ISSN 0587-4246 .
↑ "Rozšířená funkce pseudo-Voigt pro aproximaci profilu Voigt" . Journal of Applied Crystallography . 33 (6): 1311-1316. 2000. doi : 10.1107/ s0021889800010219 .
↑ P. Thompson, D. E. Cox a J. B. Hastings (1987). „Rietveldovo upřesnění Debye-Scherrerových synchrotronových rentgenových dat z Al 2 O 3 “. Journal of Applied Crystallography . 20 (2): 79-83. DOI : 10.1107/S0021889887087090 .
↑ Olivero, JJ (únor 1977). „Empirické přizpůsobení šířce čáry Voigt: Stručný přehled“. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer . 17 (2): 233-236. Bibcode : 1977JQSRT..17..233O . DOI : 10.1016/0022-4073(77)90161-3 . ISSN 0022-4073 .

Literatura

http://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf , numerická knihovna C pro komplexní chybové funkce, poskytuje funkci voigt(x, sigma, gamma) s přibližně 13-14místnou přesností.
Původní článek: Voigt, Woldemar, 1912, ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums'', Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, 25, 603 (viz také: http://5038publikation.