Udržitelná distribuce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. prosince 2015; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Stabilní rozdělení v teorii pravděpodobnosti je rozdělení, které může být získáno jako limit na rozdělení součtů nezávislých náhodných proměnných .

Definice

Distribuční funkce se nazývá stabilní, pokud pro jakákoli reálná čísla existují čísla taková, že rovnost nastává: , kde * je operace konvoluce . Jestliže je charakteristická funkce stabilního rozdělení, pak pro libovolné existují čísla taková, že . [jeden] $F(x)$ ${\displaystyle a_{1}>0,a_{2}>0,b_{1},b_{2))$ $a>0,b$ $F(a_{1}x+b_{1})*F(a_{2}x+b_{2})=F(ax+b)$ $\phi (t)$ $a_{1}>0,a_{2}>0$ $a>0,b$ $\phi ({\frac {t}{a_{1}}})\phi ({\frac {t}{a_{2}}})=\phi ({\frac {t}{a} }){e}^{-itb}$

Poznámky

Pokud je stabilní distribuční funkce , pak , Takové, že $F_{X}$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\existuje a_{n}>0,b_{n}\in \mathbb {R}$

F_{X}\left({\frac {x-b_{n}}{a_{n}}}\right)=\pod závorkou {F_{X}(x)*\cdots *F_{X} (x)} _{n},\quad \forall x\in \mathbb {R}

kde označuje konvoluci . $*$

Jestliže je charakteristická funkce stabilní distribuce, pak , taková, že $\phi _{X}$ $\forall n\in \mathbb {N} ,\;\existuje a_{n},b_{n}\in \mathbb {R}$

{\displaystyle \phi _{X}^{n}(t)=\phi _{X}(a_{n}t)\,e^{ib_{n}t))

Vlastnosti stabilních distribucí

Dovolit být nezávislé shodně rozdělené náhodné proměnné a , kde jsou některé normalizační a centrovací konstanty. Jestliže je distribuční funkcí náhodných veličin , pak pouze stabilní rozdělení mohou být limitujícími rozděleními pro at . Opak je pravdou: pro jakékoli stabilní rozdělení existuje posloupnost náhodných proměnných , která konverguje k . [jeden] ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n))$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n))}\součet _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ ${\displaystyle \beta _{n}>0,\alpha _{n))$ $F_{n}(x)$ $\eta _{n}$ $F_{n}(x)$ $n\to\infty$ $F(x)$ $\eta _{n}={\frac {1}{\beta _{n))}\součet _{k=1}^{n}\xi _{k}-\alpha _{n}$ $F_{n}(x)$ $F(x)$ $n\to\infty$

(Levy-Khinchinova reprezentace) Logaritmus charakteristické funkce náhodné veličiny se stabilním rozdělením má tvar:

\ln \phi (t)={\begin{cases}it\beta -d|t|^{\alpha }\left(1+i\theta {\frac {t}{|t|}} G(t,\alpha )\right),&t\not =0,\\0,&t=0.\end{cases}}

kde a $0<\alpha \leq 2,\;\beta \in \mathbb {R} ,\;d\geq 0,\;|\theta |\leq 1,$

G(t,\alpha )={\begin{cases}\mathrm {tg} {\frac {\pi }{2}}\alpha ,&\alpha \not =1,\\{\frac { 2}{\pi }}\ln |t|,&\alpha =1.\end{cases}}

Viz také

Nekonečně dělitelné rozdělení .

Poznámky

↑ 1 2 Koroljuk, 1985 , str. 141.

Literatura

Koroljuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Příručka teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona