Eulerova charakteristika

Eulerova charakteristika nebo Euler-Poincaré charakteristika je celočíselná charakteristika topologického prostoru . Eulerova charakteristika prostoru se obvykle označuje . $X$ $\chi (X)$

Definice

Pro komplex konečných buněk (zejména pro konečný simpliciální komplex ) lze Eulerovu charakteristiku definovat jako střídavý součet $\chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-...,$

kde označuje počet buněk dimenze .

k_i

i

Eulerova charakteristika libovolného topologického prostoru může být definována pomocí Bettiho čísel jako střídavý součet: $b_n$ $\chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,...$

Tato definice má smysl pouze v případě, že všechna Betti čísla jsou konečná a mizí pro všechny dostatečně velké indexy.

Poslední definice zobecňuje předchozí a zobecňuje na další homologie s libovolnými koeficienty.

Vlastnosti

Eulerova charakteristika je homotopický invariant ; to znamená, že je zachována pod homotopickou ekvivalencí topologických prostorů.
- Zejména Eulerova charakteristika je topologickým invariantem.
Eulerova charakteristika jakéhokoli uzavřeného potrubí lichého rozměru je rovna nule [1] .
Eulerova charakteristika součinu topologických prostorů M a N se rovná součinu jejich Eulerových charakteristik:

\chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N).

Eulerova charakteristika mnohostěnů

Eulerovu charakteristiku dvourozměrných topologických mnohostěnů lze vypočítat podle vzorce , kde Г, Р a В jsou počty ploch, hran a vrcholů. Zejména pro jednoduše spojený mnohostěn platí Eulerův vzorec : $\chi =\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} ,$ $\Gamma -\mathrm {P} +\mathrm {B} =\chi (S^{2})=2.$

Například Eulerova charakteristika pro krychli je 6 − 12 + 8 = 2 a pro trojúhelníkový jehlan 4 − 6 + 4 = 2.

Gauss-Bonnetův vzorec

Pro kompaktní dvourozměrně orientovanou Riemannovu varietu (povrch) bez hranic existuje Gauss-Bonnetův vzorec , který dává Eulerovu charakteristiku do souvislosti s Gaussovým zakřivením manifoldu: $S$ $\chi (S)$ $K$

\int \limits _{S}K\;d\sigma =2\pi \chi (S),

kde je prvek plochy povrchu . $d\sigma$ $S$

Existuje zobecnění Gauss-Bonnetova vzorce pro dvourozměrnou varietu s hranicí.
Existuje zobecnění Gauss-Bonnetova vzorce na Riemannovu varietu se sudým rozměrem , známou jako Gauss-Bonnet-Chern teorém nebo zobecněná Gauss-Bonnetova rovnice .
Existuje také diskrétní analogie Gauss-Bonnetovy věty, která říká, že Eulerova charakteristika je rovna součtu defektů mnohostěnu děleno [2] . $2\pi$
Existují kombinatorické analogy Gauss-Bonnetova vzorce.

Orientovatelné a neorientovatelné povrchy

Eulerova charakteristika uzavřené orientovatelné plochy souvisí s jejím rodem g (počet držadel , tedy počet tori v připojeném součtu představujícím tuto plochu) vztahem

\chi =2-2g.\

Eulerova charakteristika uzavřené neorientovatelné plochy souvisí s jejím neorientovatelným rodem k (počet projektivních rovin ve spojeném součtu představující tuto plochu) vztahem

\chi =2-k.\

Hodnota Eulerovy charakteristiky

název	Pohled	Eulerova charakteristika
Úsečka		jeden
Kruh		0
Kruh		jeden
koule		2
torus (součin dvou kruhů)		0
dvojitý torus		−2
trojitý torus		−4
Skutečná projektivní rovina		jeden
Möbiův pás		0
Kleinova láhev		0
Dvě koule (odpojené)		2 + 2 = 4
Tři koule		2 + 2 + 2 = 6

Historie

V roce 1752 Euler [3] publikoval vzorec týkající se počtu ploch trojrozměrného mnohostěnu. V původní práci je vzorec uveden ve tvaru

S+H=A+2,

kde S je počet vrcholů, H je počet ploch, A je počet hran.

Dříve se tento vzorec nachází v rukopisech René Descartese , publikovaných v 18. století.

V roce 1812 Simon Lhuillier rozšířil tento vzorec na mnohostěny s „dírami“ (například na těla jako rám obrazu). V Lhuillierově práci je na pravou stranu Eulerova vzorce přidán termín kde je počet děr (" rod povrchu ") . Test rámečku obrazu: 16 tváří, 16 vrcholů, 32 hran, 1 otvor: $(-2g),$ $G$ $16+16=32+2-2\cdot 1.$

V roce 1899 Poincaré [4] zobecnil tento vzorec na případ N - rozměrného polytopu:

\sum _{{i=0}}^{{N-1}}{(-1)}^{i}A_{i}=1+{(-1)}^{{N-1}},

kde je počet i - rozměrných ploch N - rozměrného mnohostěnu. $A_{i}$

Pokud vezmeme v úvahu samotný mnohostěn jako jeho vlastní jedinečnou plochu dimenze N , lze vzorec napsat v jednodušší podobě:

\sum _{{i=0}}^{{N}}{(-1)}^{i}A_{i}=1.

Variace a zobecnění

Dehn-Somervilleovy rovnice jsou kompletní sadou lineárních vztahů pro počet ploch různých rozměrů v jednoduchém mnohostěnu.

Viz také

Seznam objektů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi

Poznámky

↑ Richeson 2008, str. 261
↑ Praktické modelování polygonálních sítí s diskrétní Gaussovou-Bonnetovou větou
↑
L. Euler Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum, quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita . Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 4:140-160, 1758. Prezentováno Petrohradské akademii 6. dubna 1752 . Opera Omnia 1(26): 94-108.
- Anglický překlad: Leonhard Euler Důkaz některých pozoruhodných vlastností, kterými jsou obdařena tělesa uzavřená rovinnými plochami . (Přeložili Christopher Francese a David Richeson)
↑ H. Poincaré, Sur la generalization d'un théorème d'Euler relatif aux polyèdres, Compt. Rend. Akad. Sci., 117 (1893), 144-145; Oeuvres, sv. XI, 6-7.

Literatura

Dolbilin N. Tři věty o konvexních mnohostěnech // Kvant . - 2001. - č. 5 . - S. 7-12 .
Lakatoš I. Důkazy a vyvrácení. Jak se dokazují věty / Per. I. N. Veselovský. - M .: Nauka, 1967.
Charakteristika Shashkin Yu.A. Euler . - M . : Nauka, 1984. - T. 58. - ( Populární přednášky o matematice ).
Yu. M. Burman Eulerova charakteristická letní škola "Moderní matematika", 2012, Dubna

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)