Salem čísla

V matematice je Salemovo číslo skutečné algebraické celé číslo α > 1, jehož všechny konjugáty mají modul nejvýše 1 a alespoň jeden z nich má modul 1. Salem čísla jsou zajímavá pro diofantické aproximace a harmonickou analýzu . Jsou pojmenovány po francouzském matematikovi Raphaelu Salemovi .

Vlastnosti

Protože Salemovo číslo má sdružené číslo s absolutní hodnotou 1, musí být minimální polynom pro Salemovo číslo inverzní . Z toho vyplývá, že 1/α je také kořen a všechny ostatní kořeny mají absolutní hodnotu přesně rovnou 1. V důsledku toho musí být číslo α invertibilním prvkem (kruhovou jednotkou) v kruhu algebraických celých čísel , což je norma 1.

Každé Salemovo číslo je Perronovo číslo (algebraické celé číslo větší než 1, jehož modul je větší než všechny jeho konjugáty).

Vztah s čísly Pisot-Vijayaraghavan

Nejmenší známé Salemovo číslo je největší skutečný kořen Lehmerova polynomu (pojmenovaný po americkém matematikovi Derricku Lehmerovi )

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+ x+1,

jehož hodnota je x ≈ 1,177 628; má to být nejmenší Salemovo číslo a nejmenší možná Mahlerova míra pro ireducibilní necyklický polynom [1] .

Lehmerův polynom je faktorem kratšího polynomu 12. stupně,

Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,

všech dvanáct kořenů splňuje vztah [2]

x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{ 90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1 )(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}

Salem čísla jsou úzce spjata s Pisot-Vijayaraghavan (PV-čísla) . Nejmenší z čísel PV je jediným skutečným kořenem polynomu 3. stupně

x^{3}-x-1,

známé jako „ plastické číslo “ a přibližně rovné 1,324718. Čísla PV lze použít ke generování rodiny čísel Salem, včetně toho nejmenšího. Obecným způsobem je vzít minimální polynom P ( x ) PV-čísla stupně n a jeho inverzní polynom P* ( x ) (jehož koeficienty jsou, zhruba řečeno, tvořeny „odrazem“ koeficientů polynomu P ( x ) vzhledem k x n /2 ) a rovnici vyřešte

x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)

vzhledem k celému číslu n . Odečtením jedné strany od druhé, faktoringem a eliminací triviálních faktorů lze získat minimální polynom pro některá Salemova čísla. Pokud například vezmeme plastové číslo a místo výše uvedeného plus nebo mínus zvolíme plus, pak:

x^{n}(x^{3}-x-1)=-x^{3}-x^{2}+1

a pro n = 8 dostaneme

(x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3} +x+1)=0,

kde polynom 10. stupně je Lehmerův polynom. Pomocí větší hodnoty n dostaneme rodinu polynomů, jejichž jeden kořen se blíží plastickému číslu . To lze pochopit extrakcí n-tých mocninných radikálů z obou stran rovnice,

{\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n))

Čím větší je hodnota n , tím více se x bude blížit řešení x 3 − x − 1 = 0.[ upřesnit ] Při volbě kladného znaménka místo plus nebo mínus se kořen x blíží k plastickému číslu opačně[ co? ] směr. Použití minimálního polynomu nejbližšího nejmenšího čísla PV $x^{4}-x^{3}-1$

x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),

který pro n = 7 nabývá tvaru

(x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0

na polynomickém stupni, který nebyl vygenerován v předchozím a má kořen x ≈ 1,216391… což je páté nejmenší známé Salemovo číslo. Jak n jde do nekonečna, tato rodina naopak jde k většímu reálnému kořenu x 4 − x 3 − 1 = 0.

Poznámky

↑ Borwein (2002) s.16
↑ D. Bailey a D. Broadhurst, Polylogaritmový žebříček sedmnáctého řádu

Literatura

Borwein, PeterVýpočetní exkurze v analýze ateorii čísel . - Springer-Verlag , 2002. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 . kap. 3.
Boyd, David (2001), číslo Salem , v Hazewinkel, Michiel, Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
MJ Mossinghoff. Malá čísla Salem . Datum přístupu: 7. ledna 2016. (neurčitý)
Salem, R.Algebraická čísla a Fourierova analýza (neurčitá) . — Boston, MA: DC Heath and Company, 1963. - (Heath matematické monografie).

Algebraická čísla
Odrůdy	Algebraická celá čísla Čebyševské uzly Konstruktivní čísla Ejzenštejnův celek Gaussova celá čísla Kummer prsten Perronova čísla Pisot-Vijayaraghavan čísla Kvadratická iracionalita ℚ Kořeny z jednoty Salem čísla
Charakteristický	Conwayova konstanta 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2