Baker-Hegner-Starkova věta

Baker-Hegner-Stark teorém [1]  je tvrzení v algebraické teorii čísel o tom, která kvadratická komplexní číselná pole umožňují jedinečný rozklad v kruhu celých čísel . Věta řeší speciální případ Gaussova problému počtu tříd , ve kterém je třeba určit počet imaginárních kvadratických polí, která mají daný pevný počet tříd .

Algebraické číselné pole (kde  je celé číslo , které není čtvercem) je konečným rozšířením oboru racionálních čísel řádu 2, nazývaným kvadratické rozšíření. Počet tříd pole  je počet tříd ekvivalence ideálů kruhu celých čísel pole , kde dva ideály a jsou ekvivalentní tehdy a pouze tehdy, pokud existují hlavní ideály ) a takové, že . Pak je kruh celých čísel pole hlavní ideální doménou (a tedy doménou s jedinečným rozkladem ), právě když je počet tříd polí roven 1. Baker-Hegner-Starkův teorém tedy může být formulován jako následuje: if , pak je počet tříd polí roven 1 právě tehdy, když:

.

Tato čísla jsou známá jako Hegnerova čísla .

Nahrazením -1 za -4 a -2 za -8 (což nezmění okraj), lze seznam zapsat následovně [2] :

,

kde je interpretováno jako diskriminant (buď algebraického pole nebo eliptické křivky s komplexním násobením ). Toto je standardnější přístup, od té doby je základním diskriminantem .

Historie

Hypotézu formuloval Gauss v odstavci 303 Aritmetických výzkumů . První důkaz podal Kurt Hegner roce 1952 , ale obsahoval řadu technických nedostatků a nebyl přijat matematiky, dokud Harold Stark v roce 1967 nepředložil kompletní rigorózní důkaz, který měl s Hegnerovou prací mnoho společného [3] . Hegner „zemřel dříve, než někdo skutečně pochopil, co udělal“ [4] . Jiné dokumenty poskytly podobné důkazy pomocí modulárních funkcí, ale Stark se soustředil pouze na vyplnění Hegnerových mezer a nakonec to dokončil v roce 1969 [5] .

Alan Baker podal o něco dříve ( 1966 ) zcela jiný důkaz Starkovy práce (přesněji Baker zredukoval výsledek na konečný počet výpočtů, ačkoli Stark tyto výpočty provedl již v tezích 1963/4) a obdržel Fieldsovu cenu. pro jeho metody. Stark později poukázal na to Bakerův důkaz, používat lineární formy ve 3 logaritmech, mohl být redukován k 2 logaritmům jestliže výsledek byl známý v roce 1949 k Gelfond a Linnik [6] .

V článku z roku 1969 Stark [5] také citoval text Heinricha Martina Webera z roku 1895 a poznamenal, že pokud by Weber „poznamenal, že redukovatelnost [některých rovnic] vede k diofantické rovnici , problémy s počtem tříd by mohly být vyřešeny za 60 let. před". Brian Birch poznamenal, že Weberova kniha a vlastně celá oblast modulárních funkcí na půl století vypadla z úvahy: „Bohužel v roce 1952 nezůstal nikdo, kdo by byl dostatečně odborníkem na Weberovu algebru , aby ocenil Hegnerův úspěch“ [7] .

Deuring, Siegel a Choula podali hned po Starkovi [8] mírně odlišný důkaz založený na modulárních funkcích . V průběhu let se objevily další verze tohoto žánru. Například v roce 1985 Monsour Kenku poskytl důkaz pomocí Kleinova quartic (i když také pomocí modulárních funkcí) [9] . V roce 1999 pak Yiming Chen podal další verzi důkazu pomocí modulárních funkcí (podle Siegelova náčrtu) [10] .

Alternativní důkaz podává také práce Grosse a Zagira (1986) [11] v kombinaci s Goldfeldovou (1976) [4] .

Skutečný případ

Není známo, zda existuje nekonečně mnoho takových , pro které má počet tříd 1. Výsledky výpočtů ukazují, že takových polí je mnoho; vede se seznam číselných polí s počtem tříd 1 .

Poznámky

  1. ↑ Elkies ( Elkies 1999 ) označuje teorém jako Hegner-Starkův teorém (který má společný původ se Stark-Hegnerovými body na stránce Darmonových článků ( Darmon 2004 )), ale zmínka bez Bakerova jména je atypická. Chowla ( 1970 ) neopodstatněně přidal Dueringa a Siegela k názvu své práce.
  2. ↑ Elkies, 1999 , s. 93.
  3. ↑ Stark, 2011 , str. 42.
  4. ↑ 12 Goldfeld , 1985 .
  5. ↑ 12 Stark, 1969a .
  6. ↑ Stark, 1969b .
  7. ↑ Bříza, 2004 .
  8. ↑ Chowla, 1970 .
  9. ↑ Kenku, 1985 .
  10. ↑ Chen, 1999 .
  11. ↑ Gross, Zagier, 1986 .

Literatura